Mục lục bài viết

1. Khối cầu là gì?
2. Công thức tính thể tích khối cầu:
3. Công thức tính diện tích khối cầu:
3.1. Công thức tính diện tích mặt cầu
3.2. Công thức tính diện tích xung quanh hình cầu:
4. Bài tập luyện tập

1. Khối cầu là gì?

- Khối cầu được tạo bởi toàn bộ không gian tính từ mặt cầu đến tâm của nó. Mặt cầu là tập hợp các điểm nằm cách đều điểm O (tâm hình cầu) 1 khoảng cố định không đổi bẳng R (bán kính) tức R = OA.

- Tính chất của hình cầu:

+ Trục đối xứng của hình cầu là bất kỳ đường thẳng nào giao nhau với hình cầu và đi qua tâm của nó. Khi đó, xoay 1 quả cầu xung quanh trục này ở bất cứ góc độ nào cũng sẽ biến nó thành chính nó

+ Mặt phẳng phản xạ là một mặt phẳng cắt hình được đề cập qua tâm của nó chia hình cầu thành hai phần bằng nhau.

2. Công thức tính thể tích khối cầu:

$V = \frac{4\pi r^{3}}{3}$

Trong đó:

- V: thể tích khối cầu ( đơn vị m3)

- $\pi$ : là số pi, có giá trị 3,14

- r : là bán kính khối cầu

3. Công thức tính diện tích khối cầu:

3.1. Công thức tính diện tích mặt cầu

Diện tích mặt cầu được tình bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn hay bốn lần hằng số Pi nhân với bình phương bán kính của hình cầu:

$S = 4\pi r^{2} = \pi d^{2}$

Trong đó:

- S: Diện tích mặt cầu

- r: bán kính mặt cầu/ hình cầu

- d: đường kính mặt cầu/ hình cầu

3.2. Công thức tính diện tích xung quanh hình cầu:

$S_{xq} = 4\pi r^{2}$

Trong đó:

- Sxq: Diện tích xung quanh hình cầu

- r: bán kính của hình cầu.

4. Bài tập luyện tập

Bài 1: Có đường tròn tâm O, bán kính là 9m. Tính diện tích hình cầu?

Lời giải:

Diện tích hình cầu S = 4 . 3,14 . 9²= 1017,36 (m2)

Vậy diên tích hình cầu bằng 1017,36 m2

Bài 2: Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương 9 cm là bao nhiêu?

Lời giải
Gọi R là bán kính khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD.EFGH

Ta có: CE = AB . 3 = 9 cm. Suy ra R =1/2 CE = 4,5 cm

Thể tích khối cầu là: V = 4/3 . 3,14 . 4,5² = 84.78 cm3

Vậy thể tích khối cầu là 84,78 cm3

Bài 3: Hình chóp S. ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) với SA = a, AB = b, AC = c. Mặt cầu đi qua các định A, B, C, S có bán kính r bằng bao nhiêu?

Lời giải: Gọi M là trung điểm của BC, khi đó MC = MB = MA => M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Dựng Mt vuông góc mặt phẳng ABC, ta có Mt // SA và Mt là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Trong mặt phẳng (SA,Mt) đường trung trực của SA cắt Mt tại I, ta có:

IS = IA và IA = IB = IC => IS = IA = IB = IC => I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC

Bán kính mặt cầu: R = IA = $\sqrt{AM^{2} + MI^{2}}$ với:

AM = BC/2 = 1/2 $\sqrt{b^{2}+c^{2}}$ ; MI = SA/2 = a/2

=> R = 1/2 . $\sqrt{a^{2} +b^{2}+c^{2}}$

Bài 4: Cho 1 hình cầu có bán kính 10cm, tính diện tích bề mặt hình cầu này:

Lời giải: Áp dụng công thức tính diện tích hình cầu, ta có:

S = 4. Pi. r² = 4. 3,14 . 10² = 1256 cm2

Vậy diện tích của bề mặt hình cầu là 1256 cm2.

Bài 5: Cho hình cầu có đường kính d = 6cm. Diện tích mặt cầu là:

A. 36pi (cm2)

B. 9pi (cm2)

C. 12pi (cm2)

D. 6pi (cm2)

Lời giải: Chọn đáp án: A. Diện tích mặt cầu là 36pi (cm2)

Vì đường kính d = 6cm

Nên bán kính hình cầu R = d/2 = 3cm

Diện tích mặt cầu: S = 4. Pi. R² = 4. Pi. 3² = 36pi (cm²)

Bài 6: Cho mặt cầu có số đo diện tích bằng số đo thể tích. Tính bán kính mặt cầu:

A. Bán kính mặt cầu bằng 3

B. Bán kính mặt cầu bằng 6

C. Bán kính mặt cầu bằng 9

D. Bán kính mặt cầu bằng 12

Lời giải: Chọn A. Bán kính mặt cầu bằng 3.

Bài 7: Cho hình cầu có bán kính 3cm. Một hình nón cũng có bán kính đáy bằng 3cm và có diện tích toàn phần bằng diện tích mặt cầu. Tính chiều cao của hình nón.

a. Chiều cao của hình nón bằng 3 cm

B. Chiều cao của hình nón bằng $6\sqrt{3}$ cm

C. Chiều cao của hình nón là 7 cm

D. Chiều cao của hình nón bằng $6\sqrt{2}$ cm

Lời giải: Chọn D. Chiều cao của hình nón bằng $6\sqrt{2}$ cm

Gọi I là độ dài đường sinh của hình nón. Vì bán kính hình cầu và bán kính đáy của hình nón bằng nhau nên từ giả thiết ta có:

4 . pi . R² = pi . R. I + pi .R² => 4. R² = R.I +R²

=> 3R² = R . I => I = 3R = 3 . 3 = 9 cm

Sử dụng công thức liên hệ trong hình nón ta có: h² = l² - R² = 9² - 3² = 72 => h = $6\sqrt{2}$ cm

Bài 8: Cho một hình trụ có bán kính đường tròn đáy là 3cm và chiều cao h = 4cm. Một hình cầu có diện tích xung quanh của hình trụ. Tính bán kính của hình cầu?

A. bán kính của hình cầuu bằng 3cm

B. Bán kính của hình cầu bằng 2 cm

C. Bán kính của hình cầu bằng 6 cm

D. Bán kính của hình cầu bằng $\sqrt{6}$ cm

Lời giải:

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

S xung quanh = 2. Pi . R. h = 2 . Pi. 3. 4 = 24. Pi (cm2)

Do đó, diện tích mặt cầu bằng: S = 4 . Pi. R² = 24 . Pi => R² = 6 => R = $\sqrt{6}$ cm

Bài 9: Cho một hình cầu nội tiếp trong hình trụ. Biết trằng đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính của hình cầu. Tính tỉ số giữa thể tích hình cầu và thể tích hình trụ.

A. Tỉ số thể tích hình cầu với hình trụ bằng 2/3

B. Tỉ số thể tích hình cầu với hình trụ bằng 3/2

C. Tỉ số thể tích hình cầu với hình trụ bằng 1/2

D. Tỉ số thể tích hình cầu với hình trụ bằng 2.

Lời giải: Chọn A. Tỉ số thể tích hình cầu với hình trụ bằng 2/3.

Vì đường kính đáy và chiều cao của hình trụ bằng nhau và bằng đường kính hình cầu nên h = 2R với R là bán kính hình cầu và cũng là bán kính đáy của hình trụ.

Thể tích của hình cầu : V cầu = 4/3 . Pi . R³

Thể tích khối trụ V trụ = pi. R² . 2 R = 2 . Pi. R³

Tỉ số thể tích hình cầu và thể tích hình trụ là: V cầu / V trụ = 2/3

Bài 10: Cho một hình cầu và một hình lập phương ngoại tiếp nó. Nếu diện tích toàn phần của hình lập phương là 24cm² thì diện tích mặt cầu là:

A. 4 pi

B. 4

C. 2 pi

D. 2

Lời giải: Chọn A. Diện tích mặt cầu bằng 4pi (cm2)

Vì hình cầu nội tiếp hình lập phương nên bán kính hình cầu R = a/2 với a là cạnh hình lập phương. Diện tích toàn phần của hình lập phương; S toàn phần = 6 . a . 2 = 24 => a = 2 (cm)

Suy ra R = 2/2 = 1 (cm).

Khi đó ta có diện tích mặt cầu: S = 4 . Pi . R² = 4 . Pi . 1² = 4 . Pi (cm2)

Bài 11: Giả sử trái chanh vàng có hình tương tự như mặt cầu, bạn Lan cắt trái chanh làm đôi và tiến hành đo đường kính của nửa trái chanh vừa vắt, ban đo được bán kính cả vỏ chanh là 2 cm. Biết vỏ chanh dày 3mm. Hãy tính thể tích thực của quả chanh đó.

Bài 12: Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện qua tâm là 68,5 cm. Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mối miếng có diện tích 49,82 cm2. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên?

Đáp án: Cần ít nhất 30 miếng da để làm quả bóng trên.

Bài 13: Một chậu nước hình bán cầu bằng nhôm có bán kính R = 10 đặt trong một khung hình chữ nhật. Trong chậu chứa sẵn một khối nước có hình chỏm cầu có chiều cao h = 2. Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu bằng kim loại thì mặt nước dâng lên vừa phù kín viên bi. Cho biết công thức tính thể tích của khối chỏm cầu (O;R) có chiều chiều cao là h và V chỏm cầu = pi . h² (R - h/3). Tính bán kính r của viên bi.

Đáp án: R = 1,019 .