Mục lục bài viết

A. Phương pháp giải
1. Định nghĩa
2. Phương trình lôgarit cơ bản
3. Các bước giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số
B. Bài tập luyện tập

A. Phương pháp giải

1. Định nghĩa

Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit.

2. Phương trình lôgarit cơ bản

$log_{a}f(x)$ = b ⇔ x = ab (0 < a ≠ 1).

$log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$ <=> Giải bất phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số dễ hiểu

3. Các bước giải phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số

* Bước 1. Tìm điều kiện của phương trình (nếu có).

* Bước 2. Sử dụng định nghĩa và các tính chất của lôgarit để đưa các lôgarit có mặt trong phương trình về cùng cơ số.

* Bước 3.Biến đổi phương trình về phương trình lôgarit cơ bản đã biết cách giải.

* Bước 4. Kiểm tra điều kiện và kết luận.

B. Bài tập luyện tập

Bài 1: Giải phương trình: $log_{2}(x+3) + log_{2}(x-1) = \frac{1}{log_{5}2}$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện của phương trình là: x + 3 > 0 hoặc x - 1 > 0<=> x > 1

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình

$log_{2}(x+3)(x-1)) = log_{2}5$

<=> (x +3) (x -1) = 5

<=> $x^{2}$ + 2x - 8 = 0

<=> x = -4 hoặc x = 2

Kết hợp với điều kiện, ta được tập nghiệm của phương trình đã cho là {2}.

Bài 2: Giải phương trình $log_{2}x + log_{3}x + log_{4}x = log_{20}x$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: x > 0

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

$log_{2}x + \frac{log_{2}x}{log_{3}x} + \frac{log_{2}x}{log_{4}x} = \frac{log_{2}x}{log_{20}x}$

<=> $log_{2}x \times (1 + \frac{1}{log_{3}x} + \frac{1}{log_{4}x} +\frac{1x}{log_{20}x})$ = 0 <=> $log_{2}x$ = 0 <=> x = 1

Vật phương trình đã cho có nghiệm x = 1

Bài 3: Tìm tập nghiệm S của phương trình log₃(2x+1) -log₃(x-1) = 1

Lời giải chi tiết:

Ta có điều kiện xác định 0 2x + 1> 0 và x - 1 > <=> x > 1

$log_{3}(2x+1) - log_{3}(x-1)$ = 1

<=> $log_{3}(\frac{2x+1)}{x-1}$ = 1

<=> $log_{3}(\frac{2x+1)}{x-1} = log_{3}3$

<=> $(\frac{2x+1)}{x-1} = 3$

<=> $(\frac{2x+1)}{x-1} -3= 0$

<=> x = 4 ( thỏa mãn điều kiện xác định)

Bài 4: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình $log_{x}2 - log_{16}x = 0$ . Tính x1, x2

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: x > 0 và x khác 1

$log_{x}2 - log_{16}x = 0$

<=> $log_{x}2 - log_{2^{4}}x = 0$

<=> $\frac{1}{log_{x}2} - \frac{1}{4}log_{2}x = 0$

<=> $(log_{2}x)^{2}= 4$

<=> x = 4 hoặc x = 1/4 (thỏa mãn điều kiện đưa ra)

Vậy tích x1. x1 = 4. 1/4 = 1

Bài 5: Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình $log_{2}x. log_{2}32x + 4 = 0$

Lời giải chi tiết:

Điều kiện xác định: x > 0

Khi đó $log_{2}x. log_{2}32x + 4 = 0$ <=> $log_{2}x. log_{2}(x+ 5) + 4 = 0$ <=> $log_{2}^{2}x + 5.log_{2}x + 4 = 0$

<=> $log_{2}x = -1$ hoặc $log_{2}x = -4$ <=> $x = \frac{1}{2}$ hoặc $x = \frac{1}{16}$

Do đó tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho bằng $\frac{9}{16}$

Bài 6: Giải phương trình $log_{\sqrt{2}}(x^{2} - 3x + 1) = log_{\sqrt{2}}(x - 2)$

Lời giải chi tiết:

$log_{\sqrt{2}}(x^{2} - 3x -4 ) = log_{\sqrt{2}}(x^{2} - 2x -6)$

<=> $x^{2}$ - 3x - 4 > 0 hoặc $x^{2}$ - 3x - 4 = $x^{2}$ - 2x - 6

<=> x > 4 và x < -1 => vô nghiệm hoặc x = 2

Vậy phương trình có nghiệm x = 2

Bài 7: Bất phương trình $log_{4}(x+ 7)$ > $log_{2}(x+1)$ bao nhieu nghiệm nguyên

A. Bất phương trình có 3 nghiệm nguyên

B. Bất phương trình có 1 nghiệm nguyên

C. Bất phương trình có 4 nghiệm nguyên

D. Bất phương trình có 2 nghiệm nguyên

Lời giải chi tiết: Chọn D. Bất phương trình có 2 nghiệm nguyên

Điều kiện xác định của bất phương trình Logarit là:

x + 7 > 0 hoặc x + 1 > 0 <=> x > - 7 hoặc x > -1 <=> x > -1

Ta có: $log_{4}(x+ 7)$ > $log_{2}(x+1)$

<=> $\frac{1}{2}log_{2}(x+ 7)$ > $log_{2}(x+1)$

<=> $log_{2}(x+ 7)$ > $log_{2}(x+1)^{2}$

<=> $x^{2}$ + x - 6 < 0

<=> -3 < x < 2

Kết hợp điều kiện bất phương trình logarit ta được - 1 < x < 2

Vì x thuộc Z tìm được x = 0 và x = 1

Bài 8: Có tất cả bao nhiêu số nguyên x thoả mãn bất phương trình logarit sau: $log_\frac{{1}}{2}[log_{2}(2-x)^{2}]$ > 0

A. Vô số

B. 1 số nguyên x thoả mãn

C. 0 số nguyên x thoả mãn

D. 2 số nguyên x thoả mãn

Lời giải chi tiết: Đáp án: chọn C. Có 0 số nguyên x thoả mãn

$log_\frac{{1}}{2}[log_{2}(2-x)^{2}]$ > 0

<=> 0 < $log_{2}(2-x)^{2}$ < 1

<=> 1 < 2 - $x^{2}$ < 2

<=> 2 - $x^{2}$ < 2 và 2 - $x^{2}$ > 1 => $x^{2}$ > 0 và $x^{2}$ < 1 <=> $x\neq 0$ và -1 < x < 1

Kết hợp với giả thiết x là số nguyên, ta thấy không có số nguyên x nào thỏa mãn bất phương trình logarit $log_\frac{{1}}{2}[log_{2}(2-x)^{2}]$ > 0.

Bài 9: Tập nghiệm của bất phương trình $log_{3}(log^{\frac{1}{2}}x)<1$ là:

A. ( 0 ; 1)

B. (1/8 ; 1)

C. (1 ; 8)

D. (1/8 ; 3)

Lời giải chi tiết: Chọn B. (1/8 ; 1)

$log_{3}(log^{\frac{1}{2}}x)<1$ ⇔ 0 < $(log^{\frac{1}{2}}x)$ < 3

<=> 1 > x > $\frac{1}{2}^{3}$ <=> 1/8 < x < 1

Vậy ta có tậm nghiệm của bất phương trìn logarit trên la (1/8 ; 1)

Bài 10: Tập nghiệm của bất phương trình $log_\frac{{1}}{2}(2x-1)$ > -1 là:

A. S = (1 ; $\frac{3}{2}$ )

B.S = ( $\frac{3}{2}$ ; $+\infty$ )

C. S = ( $\frac{1}{2}$ ; $\frac{3}{2}$ )

D. S = ( $-\infty$ ; $\frac{3}{2}$ )

Lời giải chi tiết: Chọn C. ( $\frac{1}{2}$ ; $\frac{3}{2}$ )

Ta có: $log_\frac{{1}}{2}(2x-1)$ > -1 <=> 2x - 1 < 2 hoặc 2x -1 > 0

<=> x < $\frac{3}{2}$ hoặc x > $\frac{1}{2}$ <=> $\frac{1}{2}$ < x < $\frac{3}{2}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình logarit trên là S = ( $\frac{1}{2}$ ; $\frac{3}{2}$ )

Bài 11: Bất hương trình $log_{\frac{2}{3}}(2x^{2} - x + 1)$ < 0 có tập nghiệm là:

A. S = ( 0; $\frac{3}{2}$ )

B. S = ( -1; $\frac{3}{2}$ )

C. S = $(-\infty ; 0 )\cup (\frac{1}{2}; +\infty )$

D. S = $(-\infty ; 1 )\cup (\frac{3}{2}; +\infty )$

Lời giải chi tiết: Chọn C. S = $(-\infty ; 0 )\cup (\frac{1}{2}; +\infty )$

$log_{\frac{2}{3}}(2x^{2} - x + 1)$ < 0 < => $x^{2}$ - x + 1 < 0 <=>x < 0 hoặc x > $\frac{1}{2}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình logarit trên S = $(-\infty ; 0 )\cup (\frac{1}{2}; +\infty )$

Ngoài phương pháp tự luận trên, có thể tham khảo phương pháp trắc nghiệm như sau:

Nhập vào màn hình máy tính $log_{\frac{2}{3}}(2x^{2} - x + 1)$

Nhấn CALC và cho x = -5 (thuộc đáp án A và D) máy tính hiển thị – 9,9277….

Vậy loại đáp án A và B.

Nhấn CALC và cho x = 1 (thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 1,709511291. => C thoả mãn điều kiện.

Bài 12: Cho bất phương trình $log_{7} (x2 + 2x + 2)$ + 1 > $log_{7} (x2 + 6x + 5 + m).$ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập ngiệm chứa khoảng (1; 3)?

A. Có 35 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn điều kiện

B. Có 36 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn điều kiện

C. Có 34 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn điều kiện

D. Có 33 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn điều kiện

Lời giải chi tiết:

$log_{7} (x2 + 2x + 2)$ + 1 > $log_{7} (x2 + 6x + 5 + m).$

<=>

> 0 và $log_{7} (7(x2 + 2x + 2))$ > $log_{7} (x2 + 6x + 5 + m).$

<=> m >

và $6x^{2}$ + 8x + 9 > m, với f(x) = – $x^{2}$ – 6x – 5; g(x) = $6x^{2}$ + 8x + 9

Xét sự biến thiên của hai hàm số f(x) và g(x)

f’(x) = –2x – 6 < 0, ∀ x ∈ (1; 3) ⇒ f(x) luôn nghịch biến trên khoảng (1; 3)

g’(x) = 12x + 8 > 0, ∀ x ∈ (1; 3) ⇒ g(x) luôn đồng biến trên khoảng (1; 3)

Khi đó –12 < m < 23

Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {–11; –10; …; 22}

Vậy có tất cả 34 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

⟹ Chọn C. Có 34 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn điều kiện.

Bài 13: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình $log_{2} (7x2 + 7)$ ≥ $log2_{2} (mx2 + 4x + m)$ có tập nghiệm là ℝ. Tổng các phần tử của S là bao nhiêu?

A. 10 phần tử

B. 11 phần tử

C. 12 phần tử

D. 13 phần tử

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C. Tổng các phần tử của S là 12 phần tử

BPT có tập nghiệm ℝ

<=> $mx^{2}$ + 4x + m > 0 và 7 $x^{2}$ + 7 ≥ $mx^{2}$ + 4x + m

<=> $mx^{2}$ + 4x +m > 0 (1) và (7 - m) $x^{2}$ - 4x + 7 (2) với mọi x thược R

Ta có:

Phương trình (1) <=> a = m > 0 và $\Delta'_{1}$ = 4 - $m^{2}$ < 0 <=> m > 2

Ta có: Phương trình (2) <=> a = 7 - m > 0 và $\Delta '_{2}$ = $4 - (7 -m)^{2} \leq 0$ <=> $7 - m \geq 2$ <=> $m\leq 5$ .

Do đó: m > 2 và $m\leq 5$

Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {3; 4; 5}

Vậy S = 3 + 4 + 5 = 12 phần tử.

Bài tập số14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: 1 + $log_{5} (x2 + 1)$ ≥ $log_{5} (mx2 + 4x + m)$ thỏa mãn với mọi x ∈ ℝ.

A. –1 < m ≤ 0

B. –1 < m < 0

C. 2 < m ≤ 3

D. 2 < m < 3

Đáp án: 2 < m ≤ 3

Bài tập số 15: Câu 12. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên không dương của m để phương trình $log_{\frac{1}{5}} (x + m) + log_{5}(2-x) =0$ có nghiệm. Tập S có bao nhiêu tập con?

A. 1 tập con

B. 2 tập con

C. 3 tập con

D. 4 tập con

Đáp án: Số tập con của S là 4 tập con.

Bài tập số 16: Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình $log_{0,02} (log_{2} (3x +1))$ > $log_{0,02} (m)$ có nghiệm với mọi x ∈ (–∞; 0)

A. m > 9

B. m < 2

C. 0 < m < 1

D. m ≥ 1

Đáp án: Chọn D. m ≥ 1

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê về Giải bất phương trình logarit bằng cách đưa về cùng cơ số dễ hiểu. Hy vọng bài viết trên mang đến thông tin hữu ích cho bạn đọc, giúp bạn giải quyết các thắc mắc liên quan, đồng thời nắm chắc kiến thức về bất phương trình logarit. Từ đó giúp bạn có thể áp dụng, vận dụng và giải quyết tốt các bài tập về giải bất phương trình logarit. Luật Minh Khuê xin trân trọng cảm ơn!