Mục lục bài viết

I. Lý thuyết về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số
1. Tính đơn điệu của hàm số
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
II. Bài tập về sự đồng biến nghịch biến của hàm số
III. Giải bài tập sách giáo khoa toán 12

I. Lý thuyết về sự đồng biến và nghịch biến của hàm số

1. Tính đơn điệu của hàm số

Ta có hàm số y = f(x) xác định trên một miền D bất kỳ

- Hàm số f(x) được gọi là đồng biến (hay tăng) trên D nếu : $\forall x_{1},x_{2} \epsilon D: x_{1}< x_{2}$ thì $f\left (x_{1} \right )< f\left ( x_{2} \right )$

- Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên D nếu : $\forall x_{1},x_{2} \epsilon D: x_{1} > x_{2}$ thì $f\left ( x_{1} \right ) < f\left ( x_{2} \right )$

Vậy hàm số đồng biến là hàm số có x và f(x) cùng tăng hoặc cùng giảm ; hàm số nghịch biến là hàm số mà nếu x tăng thì f(x) giảm và x giảm thì f(x) tăng.

2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

cscascscscs- Nếu $f'(x)\geq 0$ với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (a; b)

- Nếu $f'(x)\leq 0$ với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số f(x) nghịch biến trên khoản (a; b)

3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

- Cho hàm số f có đạo hàm trên K:

+ Nếu f'(x) > 0 với mọi $x\epsilon K$ thì hàm số f đồng biến trên K

+ Nếu f'(x() < 0 với mọi x $x\epsilon K$ thì hàm số f nghịch biến trên K

+ Nếu f'(x) = 0 với mọi $x\epsilon K$ thì hàm số f là hàm hằng trên K

4. Cách xét tính đơn điệu của hàm số

-) Tìm tập xác định

-) Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm xi ( i = 1, 2, ..... , n ) mà tại đó đạo hàm của chúng bằng 0 hoặc không xác định

-) Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

-) Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số

II. Bài tập về sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Bài 1 trang 4 toán lớp 12: Từ đồ thị (H.1, H.2) hãy chỉ ra các khoảng tăng, giảm của hàm số y = cosx trên đoạn $\begin{bmatrix} -\frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2} \end{bmatrix}$ và các hàm số y = |x| trên khoảng $\left ( -\propto ; + \propto \right )$

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết Lời giải chi tiết:

- Hình 1: hàm số y = cosx trên đoạn $\begin{bmatrix} -\frac{\pi }{2}; \frac{3\pi }{2} \end{bmatrix}$

+ Các khoảng tăng: $\begin{bmatrix} -\frac{\pi }{2}; 0 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} \pi ; \frac{3\pi }{2} \end{bmatrix}$ ( do đồ thị hàm số đi lên trong các khoảng đó, nghĩa là khi x tăng thì y cũng tăng

+ Khoảng giảm: $\begin{bmatrix} 0; \pi \end{bmatrix}$ ( do đồ thị hàm số đi xuống trong khoảng đó , nghĩa là khi x tăng thì y giảm)

- Hình 2: hàm số y = |x| trên khoảng $\left ( -\propto ; + \propto \right )$

+ Khoảng tăng: $[0; +\propto )$ ( do đồ thị hàm số đi lên trong khoảng đó, nghĩa là khi tăng thì y cũng tăng)

+ Khoảng giảm $(-\propto , 0]$ ( do đồ thị hàm số đi xuống trong khoảng đó, nghĩa là khi x tăng thì y giảm)

Bài 1 trang 5 toán 12: Xét các hàm số sau và đồ thị của chúng:

$a) y = -\frac{x^{2}}{2}(H.4a)$

$b) y = \frac{1}{x} (H.4b)$

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết Xét dấu đạo hàm của mỗi hàm số và điền vào bảng tương ứng. từ đó hãy nêu nhận xét về mối quan hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của hàm số và dấu của đạo hàm

Lời giải chi tiết:

a) hàm số $y = -\frac{x^{2}}{2}$ có đạo hàm y' = -x; y' = 0 khi x = 0

Trên khoảng $\left ( -\propto; 0 \right )$ đạo hàm y' mang dấu + , đồ thị hàm số đi lên; trên khoảng $\left (0; +\propto \right )$ mang dấu -, đồ thị hàm số đi xuống. Ta có bảng biến thiên như sau:

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

b, Hàm số $y = \frac{1}{x}$ xác định trên $\mathbb{R}$ \ {0} có đạo hàm là $y'= \frac{-1}{x^{2}}< 0$ với mọi $x \epsilon \mathbb{R}\setminus \left \{ 0 \right \}$

Do đó, trên các khoảng $(-\propto ; 0)$ , $\left ( 0; + \propto \right )$ đạo hàm y' đều mang dấu - , đồ thị hàm số đi xuống. Ta có bảng biến thiên như sau:

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

- Nhận xét: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

+ Nếu f'(x) > 0 với mọi thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

+ Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

Trả lời câu hỏi bài 1 trang 7 toán 12: Khẳng định ngược lại với định lý trên có đúng không? Nói các khác, nếu hàm số đồng bién ( nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó có nhất thiết phải dương (âm) trên đó hay không?

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số y = x³ có đạo hàm $y = 3x^{2}\geq 0$ với mọi số thực x và hàm số đồng biến trên toàn bộ R. Vậy khẳng định ngược lại với định lý trên chưa chắc đúng hay nếy hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên K thì đạo hàm của nó không nhất thiết phải dương (âm) trên đó.

III. Giải bài tập sách giáo khoa toán 12

Bài 1 trang 9 sách giáo khoa toán giải tích 12: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số

a) y = 4 + 3x - x²

b) $y =\frac{1}{3}x^{3}+ 3x^{2} - 7x - 2$

c) y = x⁴ - 2x² + 3

d) y = -x³ + x² -5

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định: D = R

Ta có: y' = 3 - 2x

y' = 0 ⇔ 3 - 2x = 0 ⇔ x = 3/2

Ta có bảng biến thiên như sau:

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng $\left ( -\propto ; \frac{3}{2} \right )$ và nghịch biến trong khoảng $\left ( \frac{3}{2}; +\propto \right )$

b) Tập xác định: D = R

Ta có: y' = x² + 6x - 7

y' = 0 ⇔ x² + 6x - 7 ⇔ $\begin{cases} & \text x= -7\\ & \text x= 1 \end{cases}$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng $(-\propto; - 7)$ và $(1; + \propto )$ ; nghịch biến trong khoảng ( -7; 1)

c) Tập xác định: D = R

Ta có: y' = 4x³ - 4x

y' = 0 ⇔ 4x³ - 4x = 0 ⇔ 4x.(x -1)(x + 1) = 0 ⇔ $\left\{\begin{matrix} x = 0 & & \\ x = 1& & \\ x = -1& & \end{matrix}\right.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng $\left ( -\propto ; -1 \right )$ và (0; 1); đồng biến trong các khoảng (-1; 0) và $\left ( 1; + \propto \right )$

d, Tập xác định: D = R

ta có: y' = -3x² + 2x

y' = 0 ⇔ -3x² + 2x = 0 ⇔ x.(-3x + 2) = 0 ⇔ $\left\{\begin{matrix} x = 0 & \\ x = \frac{2}{3}& \end{matrix}\right.$

Ta có bảng biến thiên như sau:

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng $\left ( -\propto ; 0 \right )$ và $\left ( \frac{3}{2}; +\propto \right )$ , đồng biến trong khoảng $\left ( 0; \frac{2}{3} \right )$

Bài 2 trang 10 SGK toán 12 giải tích: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) $y = \frac{3x + 1}{1-x}$

b) $y = \frac{x^{2}-2x}{1-x}$

c) $y = \sqrt{x^{2}-x-20}$

d) $y =\frac{2x}{x^{2}-9}$

Lời giải chi tiết:

a) Tập xác định: D = R\ {1}

$y = -3+\frac{4}{1-x}$

$\Rightarrow y'=\frac{4}{(1-x)^{2}}> 0 \forall x\epsilon D$

y' không xác định tại x = 1

Ta có bảng biến thiên như sau:

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left ( -\propto ;1 \right )$ và $\left ( 1; +\propto \right )$

b) Tập xác định: D = R\ {1}

$y' = \frac{(2x-2)(1-x)(x^{2}-2x)}{(1-x)^{2}}$

$= \frac{-x^{2}+ 2x - 2}{(1-x)^{2}}$

y' < 0 với mọi x thuộc D ( vì -x² + 2x - 2 < 0)

y' không xác định tại x = 1

Bảng biến thiên như sau:

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng $\left ( -\propto ; 1 \right )$ và $\left ( 1; + \propto \right )$

c) Tập xác định D: $(-\propto; -4] \mho [5; + \propto )$

$y' = \frac{2x -1}{2\sqrt{x^{2}-x-20}}$

y' = 0 ⇔ $x = \frac{1}{2}\eta \notin D$

y' không xác định tại x = -4 và x = 5

Bảng biến thiên như sau:

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

Vậy hàm số nghịch biến trong khoảng $(-\propto ; -4)$ ; đồng biến trong khoảng $(5; + \propto )$

d) Tập xác định: $D = R\setminus \left \{ +-3 \right \}$

$y' = \frac{2.\left ( x^{2}-9 \right )-2x.2x}{\left ( x^{2} -9\right )^{2}}$

$= \frac{-2\left ( x^{2}+9 \right )}{\left ( x^{2} - 9\right )^{2}}$

Vì $x^{2} \geq 0 \forall x\Rightarrow x^{2} + 9 > 0 \forall x \Leftrightarrow -2\left ( x^{2} + 9\right )< 0$

mà ( x² - 9)² > 0 với mọi x thuộc D

Suy ra: y' < 0 với mọi x thuộc D

y' Không xác định tại x = + - 3

Ta có bảng biến thiến như sau:

Giải Toán 12 Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số chi tiết

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng $(-\propto ; -3); \left ( -3; 3 \right )$ và $\left ( 3; +\propto \right )$

Bài 3 trang 10 SGK giải tích lớp 12: Chứng minh rằng hàm số $y = \frac{x}{x^{2}+ 1}$ đồng biến trên khoảng (-1; 1), nghịch biến trên khoảng $\left ( -\propto ; -1 \right )$ và $\left ( 1; +\propto \right )$

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: D = R

$y' = \frac{(x^{2}+1)-x.2x}{(x^{2}+ 1)^{2}}= \frac{1-x^{2}}{\left ( x^{2}+ 1 \right )^{2}}$

+ hàm số nghịch biến

⇔ y' = 0

⇔ 1 - x² < 0

⇔ x² > 1

⇔ $x \epsilon \left ( -\propto ; 1 \right )\nu \left ( 1; + \propto \right )$

+ hàm số đồng biến

⇔ y' > 0

⇔ 1 - x² > 0

⇔ x thuộc (-1; 1)

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng $(-\propto ; -1)$ và $\left ( 1; +\propto \right )$

Bài 4 trang 20 SKG giải tích 12: chứng minh hàm số $y= \sqrt{2x-x^{2}}$ đồng biến trên khoảng (0;1), nghịch biến trên khoảng (1;2)

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: D = [0; 2]

$y' = \frac{2-2x}{2\sqrt{2x-x^{2}}} = \frac{1-x}{\sqrt{2x-x^{2}}}$

+ Hàm số đồng biến

⇔ y' > 0

⇔ 0 < x < 1

+ Hàm số nghịch biến

⇔y' < 0

⇔ 1 < x < 2

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;1); nghịch biến trên khoảng (1;2)

Bài 5 trang 10 sách giáo khoa giải tích lớp 12: Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) $tan x > x \left ( 0 < x < \frac{\pi }{2} \right )$

b) $tan x > x + \frac{x^{3}}{3}\left ( 0 < x < \frac{\pi }{2} \right )$

Lời giải chi tiết:

a( Xét hàm số y = f(x) = tanx - x trên khoảng $\left ( 0; \frac{\pi }{2} \right )$

Ta có: $y'= \frac{1}{cos^{2}x}- 1= tan^{2}x > 0$ với mọi số thực x

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $\left ( 0; \frac{\pi }{2} \right )$

Do đó: f(x) > f(0) với mọi $x \epsilon \left ( 0; \frac{\pi }{2} \right )$

Lại có: f(0) = tan 0 - 0 = 0

Khi đó: tan x - x > 0 với mọi $x \epsilon \left ( 0; \frac{\pi }{2} \right )$

tan x > x với mọi $x \epsilon \left ( 0; \frac{\pi }{2} \right )$ ( đpcm)

b) Xét hàm số $y = g(x) = tanx - x - \frac{x^{3}}{3}$ trên $\left ( 0; \frac{\pi }{2} \right )$

Ta có: $g'(x) = \frac{1}{cos^{2}x}- 1- x^{2} = tan^{2}x - x^{2} = (tan x - x)(tan x + x)$

Theo kết quả câu a) ta có: tan x - x > 0 với mọi $x \epsilon \left ( 0; \frac{\pi }{2} \right )$ hơn nữa tan x + x > 0 với mọi $x \epsilon \left ( 0; \frac{\pi }{2} \right )$

Do đó: g'(x) > 0 với mọi $x \epsilon \left ( 0; \frac{\pi }{2} \right )$

Duy ra y = g'(x) đồng biến trên $x \epsilon \left ( 0; \frac{\pi }{2} \right )$

⇒ g(x) > g(0) với mọi $x \epsilon \left ( 0; \frac{\pi }{2} \right )$

Lại có: g(0) = tan 0 - 0 - $\frac{0^{3}}{3}$ = 0

Do đó: g(x) > 0 với mọi $x \epsilon \left ( 0; \frac{\pi }{2} \right )$

Hay $tan x-x - \frac{x^{3}}{3}> 0$ với mọi $x\epsilon \left ( 0; \frac{\pi }{2} \right )$

Khi đó: $tan > x + \frac{x^{3}}{3}$ với mọi $x\epsilon \left ( 0; \frac{\pi }{2} \right )$ (đpcm)

Trên đây lời giải chi tiết các bài tập sự đồng biến và nghịch biến của hàm số và đồng thời chúng tôi cũng bổ sung kiến thức lý thuyết. Chúng tôi xin cảm ơn các bạn đã đọc bài viết.