Mục lục bài viết

1. Lý thuyết về modun, modun của số phức
1.1. Modun số phức là gì?
1.2. Tính chất của modun số phức
1.3. Bất đẳng thức modun
2. Phương pháp giải bài tập tính modun của số phức
3. Bài tập về modun số phức

1. Lý thuyết về modun, modun của số phức

1.1. Modun số phức là gì?

Có thể hiểu modun của số phức z = a + bi là độ dài của vecto u(a,b) biểu diễn số phức đó

Theo một định nghĩa khác, modun của số phức z = a + bi (a,b thuộc R) là căn bậc hai số học (hay căn bậc hai không âm) của a2 + b2. Chẳng hạn như 3 + 4i có 32 + 42 = 25 nên modun của 3 + 4i bằng 5. Ta cũng dễ nhận thấy rằng trị tuyệt đối của một số thực cũng chính là modun của số thực đó. Do đó đôi khi ta cũng gọi modun của số phức là giá trị tuyệt đối của số phức.

$z = a + bi, a\in R \rightarrow \left | z \right |=\sqrt{a^{2}+ b^{2}}$

Kí hiệu:

$\left | z \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

$\left | z_{1} z_{2}\right |=\left | z_{1} \right |.\left | z_{2} \right |$

$\left | \right |z_{1}\left | - \right |z_{2}\left | \right | \leq\left | z_{1}+z_{2} \right |\leq \left | z_{1} \right |+\left | z_{2} \right |$

$z_{1}/z_{2}=z_{1}\overline{z_{2}}/\left | z_{2} \right |^{2}$

Về mặt hình học, mỗi số phức z = a + bi (a,b thuộc R) được biểu diễn bởi một điểm M(z) = (a;b) trên mặt phẳng Oxy và ngược lại. Khi đó modun của z được biểu diễn bởi độ dài đoạn thẳng OM(z). Rõ ràng, modun của z là một số thực không âm và nó chỉ bằng 0 khi z = 0.

1.2. Tính chất của modun số phức

Với modun của số phức, ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau:

(i) Hai số phức đối nhau có modun bằng nhau. Tức là $\left | z \right |=\left | -z \right |$

(ii) Hai số phức liên hợp có modun bằng nhau. Tức là $\left | a+bi \right |=\left |a-bi \right |$

(iii) Modun của z bằng o khi và chỉ khi z = 0

(iv) Tích của hai số phức liên hợp bằng bình phương modun của chúng: $z.\bar{z}=\left | z^{} \right |^{2}$

(v) Modun của một tích bằng tích các modun: $\left | z_{1}.z_{2} \right |=\left | z_{1} \right |.\left | z_{2} \right |$

(vi) Modun của một thương bằng thương các modun: $\left | \frac{z_{1}}{z_{2}} \right |=\frac{\left | z_{1} \right |}{\left | z_{2} \right |}$

1.3. Bất đẳng thức modun

Vì modun của số phức là độ dàu đoạn thẳng trong mặt phẳng. Do đó, từ các bất đẳng thức tam hgiacs ta có suy ra được các bất đẳng thức modun tương tự.

Tổng hai cạnh trong tam giác luôn lớn hơn cạnh thứ ba. Từ đó ta có bất đẳng thức: $\left | z_{1}+z_{2} \right |\leq \left | z_{1} \right |+\left | z_{2} \right |$

Dấu bằng xảy ra khi z₁= tz₂, t>=0

Cũng từ bất đẳng thức tam giác nêu trên ta có thể suy ra đưỡ: $\left | z_{1}-z_{2} \right |\leq \left | z_{1} \right |+\left | z_{2} \right |$

Dấu bằng xảy ra khi z₁= tz₂, t <=0.

2. Phương pháp giải bài tập tính modun của số phức

Để giải các bài tập số phức modun, các em cần nắm chắc công thức sau đây để giải các bài tập:

$\left | z \right |=\left |a + bi \right |=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ được gọi là modun của số phức z

Kết quả: mọi z thuộc C ta có:

$\left | z \right |\geq 0$

$\left | z \right |=0$

<=> z = 0; |z²| = |z|²

$\left | z_{1}.z_{2} \right |=\left | z_{1} \right |.\left | z_{2} \right |$

$\left |\frac{ z_{1} }{z_{2}} \right |=\frac{\left | z_{1} \right |}{\left | z_{2} \right |}$

3. Bài tập về modun số phức

Câu 1: Cho hai số phức z1= 1+i và z2 = 2 - 3i. Tính modun của số phức z1 + z2

A. |z₁ + z₂| = 5

B. |z₁ + z₂| = căn 5

C. |z₁ + z₂| = 1

D. |z₁ + z₂| = căn 13

Câu 2: Cho hai số phức z1 = i + i và z2 = 2 - 3i. Tính modun của số phức z1 + z2

A. |z1+z2| = 1

B. |z1+z2| = căn 5

C. |z1+z2|= căn 13

D. |z1+z2|=5

Câu 3: Gọi z1, z2 lần lượt có điểm biểu diễn là M và N trên mặt phẳng phức ở hình bên. Tính |z1+z2|

A. 2 căn 29

B. 20

C. 2 căn 5

D. 116

Câu 4: Cho hai số phức: z = 1 + 2i và w = 3 + i. Modun của số phức $z.\bar{w}$ bằng:

A. 5 căn 2

B. căn 26

C. 26

D. 50

Câu 5: Cho hai số phức z = 2+ 2i và w = 2 + i. Modun của số phức $z.\bar{w}$ bằng

A. 40

B. 8

C.2 căn 2

D. 2 căn 10

Câu 6. Cho hai số phức z = 4 +2i và w = 1 + i. Modun của số phức $z.\bar{w}$

A. 2 căn 2

B. 8

C. 2 căn 10

D. 40

Câu 7. Cho hai số phức z = 1 + 3i và w = 1 + i. Modun của số $z.\bar{w}$ bằng:

A. 2 căn 5

b. 2 căn 2

C. 20

D.8

Câu 8. Tính modun của số phức z biết $\bar{z}$ = (4-3i)(1+i)

A. |z| = 5 căn 2

B. |z| = căn 2

C. |z| = 25 căn 2

D. |z| = 7 căn 2

Câu 9: Cho số phức z thoả mãn z (1+i) = 3 - 5i. Tính modun của z

A. |z| = căn 17

B. |Z| = 16

C. |z| = 17

D. |z| = 4

Câu 10. Cho số phức z = (1-2i)². Tính modun của số phức 1 / z

A. 1 / 5

B. căn 5

C. 1 / 25

D. 1 / căn 5

câu 11: Cho số phức z thoả mãn $(1+\sqrt{3})^{2}$ z = 4 - 3i. Modun của z bằng:

A. 5 / 4

B. 5 / 2

C. 2 / 5

D. 4 / 5

Câu 12. Cho số phức z thoả mãn $3(\bar{z} + i)$ - ( 2 - i)z = 3 + 10i. Modun của z bằng:

A. căn 3

B. 3

C. 5

D. căn 5

Câu 13: Cho số phức thoả mãn $3(\bar{z} + i) - (2-i)z= 3 + 10i$ . Modun của z bằng:

A. căn 3

B. 3

C. 5

D. căn 5

Câu 14. Cho số phức z thoả mãn (3 + 2i)z + (2-i)² = 4 + i. Modun của số phức $w = (z + 1)\bar{z}$ bằng:

A. 2

B. căn 10

C. căn 5

D. 4

Câu 15: Tìm modun của số phức z biết: $(2z -1)(1+i)+(\overline{z} + 1)(1 - i) = 2 - 2i$

A. 1 / 9

B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

C. 2 / 9

D. 1 / 3

Câu 16: Cho số phức z thoả mãn $3(\bar{z}+i)- (2-i)z = 3 + 10i$ . Modun của z bằng:

A. căn 3

B. 3

C. 5

D. căn 5

Câu 17: Cho số phức z = a + bi (a,b thuộc R) thoả mãn z + 2 + i = |z|. Tính S = 4a + b

A. S = - 4

B. S = 2

C. S = -2

D. S = 4

Câu 18: Cho số phức z = a + bi ( a, b thuộc R) thoả mãn z + 2 + i = |z|. Tính S = 4a + b

A. S = - 4

B. S = 2

C. S = - 2

D. S = 4

Câu 19: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn |z+2-i| = 2 căn 2 và (z-1)² là số thuần ảo?

A. 0

B. 2

C. 4

D. 3

Câu 20: Có bao nhiêu số phức z thoả mãn |z|(z-5-i) + 2i =(6-i)z ?

A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Câu 21: Cho số phức z = a + bi (a, b thuộc Z) thoả mãn |z+2+5i| = 5 và $z.\bar{z}= 82$ . Tính giá trị của biểu thức P = |z₁ + z₂ |

a. P = căn 3

B. P = căn 3 / 2

C. P = căn 2

D. P = 2

Câu 23. Cho số phức Z thoả mãn $\frac{1+i}{z}$ là số thực và |z-2| = m với m thuộc R. Gọi mo là một giá trị của m để có đúng một số phức thoả mãn bài toán. Khi đó:

A. m₀thuộc (0; 1 / 2)

B. m₀ thuộc ( 1 / 2; 1)

C. m₀ thuộc ( 3 / 2; 2)

D. m₀ thuộc (1 ; 3 / 2)

Câu 24. Gọi S là tập hợp các số thực m sao cho với mỗi m sao cho với mỗi m thuộc S có đúng một số phức thoả mãn |z-m| = 6 và $\frac{z}{z-4}$ là số thuần ảo. Tính tổng các phần tử của tập S.