Tóm tắt lý thuyết và giải nhanh môn Toán lớp 12

1. Tổng hợp các kiến thức cần nhớ toán lớp 12

 Phần I. Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số.

2. Cực trị hàm số.

3. Một số dạng toán liên quan đến cực trị hàm số.

4. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất.

5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

7. Tiếp tuyến.

8. Tương giao đồ thị.

9. Điểm đặc biệt của họ đường cong.

Phần II. Mũ và logarit

1. Lũy thừa và hàm số lũy thừa.

2. Logarit.

3. Bất phương trình mũ và logarit.

4. Bài toán lãi suất ngân hàng.

Phần III. Nguyên hàm – tích phân ứng dụng tích phân

1. Nguyên hàm.

2. Các phương pháp tính nguyên hàm.

3. Tích phân.

4. Phương pháp tính tích phân.

5. Tích phân các hàm số sơ cấp cơ bản.

6. Ứng dụng tích phân.

Phần IV. Số phức

1. Số phức.

2. Phép cộng trừ nhân chia số phức.

3. Tập hợp điểm biểu diễn số phức.

4. Phương trình bậc hai với hệ số thực.

5. Bài toán liên quan đến max – min mô đun số phức.

Phần V. Khối đa diện

1. Khối lăng trụ và khối chóp.

2. Khái niệm về hình đa diện và khối đa diện.

3. Hai đa diện bằng nhau.

4. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.

5. Khối đa diện lồi.

6. Thể tích khối đa diện.

7. Các công thức hình phẳng.

8. Một số công thức tính nhanh thể tích khối chóp thường gặp.

9. Các công thức đặc biệt thể tích tứ diện.

Phần VI. Mặt nón – mặt trụ – mặt cầu

1. Mặt nón tròn xoay và khối nón.

2. Mặt trụ tròn xoay.

3. Mặt cầu – khối cầu.

4. Một số dạng toán và công thức giải.

5. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt cầu.

6. Tổng hợp các công thức đặc biệt về khối tròn xoay.

Phần VII. Hệ trục tọa ðộ trong không gian Oxyz

1. Hệ tọa độ không gian.

2. Mặt phẳng.

3. Đường thẳng.

4. Mặt cầu.

5. Một số dạng giải nhanh cực trị không gian.

2. Công thức giải nhanh toán lớp 12

2.1 Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên K, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nữa khoảng.

a) Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu mọi x1, x2 ∈ K x1 < x2 => f (x1) < f(x2).

b) Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu mọi x1, x2 ∈ K x1 < x2 => f (x1) < f(x2).

2.2 Định lí

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

a) Nếu f'(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K.

b) Nếu f'(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K.

c) Nếu f'(x) = 0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) không đổi trên K.

Chú ý: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn  và có đạo hàm f'(x) > 0 trên khoảng (a; b) thì hàm số f đồng biến trên đoạn.Nếu hàm số f liên tục trên đoạnvà có đạo hàm f'(x) < 0 0 trên khoảng (a; b) thì hàm số f nghịch biến trên đoạn

2.3 Định lí mở rộng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.

a) Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) đồng biến trên K

b) Nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x thuộc K và f'(x) = 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K

2.4 Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm xi(i = 1,2, ...,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

Bước 3: Sắp xếp các điểm xitheo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Công thức tính đạo hàm

Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại xo, khi số gia của đối số tiến dần tới 0, được gọi là đạo hàm của hàm số y=f(x) tại điểm xo.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) và xo (a,b):

Nếu hàm số y = f(x)có đạo hàm tại xo thì nó liên tục tại điểm đó.

Công thức đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định. Ta có:

Bảng đạo hàm

3. Bài tập ôn tập toán lớp 12

Câu 1: Cho hàm số f(x)=ax2-2(a+1)x+a+2 (a ≠ 0)

a) Chứng tỏ rằng phương trình f(x)=0 luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.

b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình f(x) = 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a.

Câu 2. Điểm cực đại của hàm số y=−x3+3x2+2

A. x = 0                        

B. x = 2     

C. (0 ; 2)                       

D. (2 ; 6)

Câu 3. Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y=x4−3x2−5
 và trục hoành.

A. 4                             

B. 3    

C. 1                             

D. 2

Câu 4. Cho hàm số y=x3−2x+1có đồ thị (C). Hệ số góc tiếp tuyến với (C) tại điểm M(- 1 ; 2) bằng:

A. 3                             

B. – 5    

C. 25                           

D. 1

Câu 5. Điều kiện của tham số m đề hàm số y=−x3/3+x2+mx nghịch biến trên R là

A. m < - 1                  

B. m  −1

C. m > −1             

D. m   −1

Câu 6. Đồ thị hàm số y=2x−3/x−1
 có các đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt là

A. x= 2 và y = 1         

B. x = 1  và y= - 3    

C. x= - 1  và y= 2       

D. x = 1  và y= 2.

Câu 7. Cho phương trình lnx+ln(x+1)=0. Chọn khẳng định đúng :

A. Phương trình vô nghiệm.

B. Phương trình có hai nghiệm .

C. Phương trình có nghiệm thuộc(1;2)

D. Phương trình có nghiệm thuộc (0;1)

Câu 8: Khi tăng kích thước mỗi cạnh của khối hộp chữ nhật lên 5 lần thì thể tích khối hộp chữ nhật tăng bao nhiêu lần?

A. 125.               

B. 25.

 C. 15.                 

D. 5.

Câu 9: Một chiếc xe ô tô có thùng đựng hàng hình hộp chữ nhật với kích thước 3 chiều lần lượt là 2m; 1,5m; 0,7m. Tính thể tích thùng đựng hàng của xe ôtô đó.

A.14m3
       

B. 4,2m3

C.8m3          

D.2,1m3

Câu 10: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là

A. các đỉnh của một hình mười hai mặt đều. 

B. các đỉnh của một hình bát diện đều.

C. các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều. 

D. các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Câu 11. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Hình bát diện đều có 8 đình.

B. Hình bát diện đều có các mặt là bát giác đều.

C. Hình bát diện đều có các mặt là hình vuông.

D. Hình bát diện đều là đa diện đều loại {3; 4}.

Câu 12: Một khối chóp có đáy là đa giác n cạnh. Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?

A. Số mặt và số đỉnh bằng nhau

B. Số đỉnh của khối chóp bằng n

C. Số cạnh của khối chóp bằng n+1

D. Số mặt của khối chóp bằng 2n

Câu 13: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Hình tạo bởi hai tứ diện đều ghép với nhau là một đa diện lồi.

B. Tứ diện đều là đa diện lồi.

C. Hình lập phương là đa diện lồi

D. Hình bát diện đều là đa diện lồi.

Câu 14: Hãy chọn cụm từ (hoặc từ) cho dưới đây để sau khi điền nó vào chỗ trống mệnh đề sau trở thành mệnh đề đúng:

“Số cạnh của một hình đa diện luôn……………….số đỉnh của hình đa diện ấy”

A. nhỏ hơn         

B. nhỏ hơn hoặc bằng

C. lớn hơn         

D. bằng

Câu 15: Hình nào sau đây có mặt phẳng đối xứng?

A. hình tứ diện                       

B. hình chóp có đáy là hình vuông

C. hình chóp tam giác đều     

D. hình chóp có đáy là hình chữ nhật

Câu 16: Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng:

A. 3 mặt phẳng

B. 2 mặt phẳng

C. 1 mặt phẳng

D. 4 mặt phẳng

Câu 17: Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng:

A. 3 mặt phẳng

B. 2 mặt phẳng

C. 1 mặt phẳng

D. 4 mặt phẳng

Câu 18: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là:

A. Các đỉnh của một hình tứ diện đều

B. Các đỉnh của một hình bát diện đều

C. Các đỉnh của một hình mười hai mặt đều

D. Các đỉnh của một hình hai mươi mặt đều

Quý khách có thể tham khảo thêm bài viết liên quan cùng chủ đề: Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 12 có đáp án năm 2022 - 2023