Mục lục bài viết

1. Đề thi vào 10 môn Toán tỉnh An Giang
2. Đáp án đề thi vào 10 môn Toán tỉnh An Giang

1. Đề thi vào 10 môn Toán tỉnh An Giang

Bài 1. (3,0 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a. $\frac{2}{\sqrt{2}}x + \sqrt{2}x = 4$

b. x⁴- 18x²+ 81 = 0

c. $\left\{\begin{matrix} x + 3y = -2 & & \\ 2x - 4y = 16 & & \end{matrix}\right.$

Bài 2. (2,5 điểm)

Cho hai hàm số y = f(x) = x²và y = g(x) = 3ax - a²với a $\neq$ 0 là tham số.

a. Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) trên hệ trục tọa độ Oxy.

b. Chứng minh rằng đồ thị hai hàm số đã cho luôn có hai giao điểm.

c. Gọi y₁ ; y₂là tung độgiao điểm của hai đồ thị. Tìm a để y₁+ y₂= 28

Bài 3. (1,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai x²- 2mx + 2m - 3 = 0 (m là tham số).

a. Giải phương trình khi m = 0,5

b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Bài 4. (2,5 điểm)

Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O) tâm O đường kính BC, đường thẳng qua O vuông góc với BC cắt AC tại D.

a. Chứng minh rằng tứ giác ABOD nội tiếp.

b. Tiếp tuyến tại điểm A với đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại điểm P, cho PB = BO = 2cm. Tính độ dài đoạn PA và số đo góc $\angle APC$ .

c. Chứng minh rằng $\frac{PB}{PC}=\frac{BA^{2}}{AC^{2}}$

Bài 5. (1,0 điểm)

Lựa chọn giải một trong hai câu sau:

Câu 1. Cây bạch đàn mỗi năm cao thêm 1m, cây phượng mỗi năm cao thêm 50cm. Lúc mới vào trường học, cây bạch đàn cao 1m và cây phượng cao 3m. Giả sử rằng tốc độ tăng trưởng chiều cao của hai loại cây không đổi qua các năm.

a. Viết hàm số biểu diễn chiều cao mỗi loại cây theo số năm tính từ lúc mới vào trường.

b. Sau bao nhiêu năm so với lúc mới vào trường thì cây bạch đàn sẽ cao hơn cây phượng?

Câu 2. Một chiếc đu quay có bán kính 75m, tâm của vòng quay ở độ cao 80m so với mặt đất. Thời gian thực hiệu mỗi vòng quay của đu quay là 30 phút. Nếu một người vào cabin ở vị trí thấp nhất của đu quay thì sau 10 phút người đó ở độ cao bao nhiêu mét so với mặt đất (giả sử đu quay quay đều) ?

2. Đáp án đề thi vào 10 môn Toán tỉnh An Giang

Bài 1. (3,0 điểm)

Cách giải:

a) $\frac{2}{\sqrt{2}}x + \sqrt{2}x = 4$

Ta có:

$\frac{2}{\sqrt{2}}x + \sqrt{2}x = 4$

⇔ $\sqrt{2}x + \sqrt{2}x = 4$

⇔ $2\sqrt{2}x = 4$

⇔ $x = \frac{4}{2\sqrt{2}}$

⇔ $x = \sqrt{2}$

Vậy nghiệm của phương trình là x = $\sqrt{2}$

b) x⁴ - 18x² + 81 = 0

Đặt t = x² với $t \geq 0$

Phương trình trở thành:

t² - 18t + 81 = 0

⇔ t² - 2.t.9 + 9² = 0

⇔ (t - 9)² = 0

⇔ t = 9 (thỏa mãn)

Với t = 9 ta có: x² = 9 ⇔ $x = \pm 3$

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { $\pm 3$ }.

c) $\left\{\begin{matrix} x + 3y = -2 & & \\ 2x - 4y = 16 & & \end{matrix}\right.$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} x + 3y = -2 & & \\ 2x - 4y = 16 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x= -2-3y & & \\ 2x - 4y = 16 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x= -2-3y & & \\ 2(-2-3y)-4y =16 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x= -2-3y & & \\ -4-6y-4y =16 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x= -2-3y & & \\ -10y = 20 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x= -2-3y & & \\ y = -2 & & \end{matrix}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{matrix} x= 4 & & \\ y = -2 & & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (4; -2).

Bài 2. (2,5 điểm)

a) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x) trên hệ trục tọa độ Oxy.

Ta có bảng giá trị sau:

x	-2	-1	0	1	2
y = x²	4	1	0	1	4

Từ đó, suy ra đồ thị là Parabol đi qua 5 điểm có tọa độ (-2;4); (-1;1); (0;0); (1;1); (2;4)

Đồ thị hàm số y = x²có a = 1> 0 nên đồ thị là đường cong parabol có bề lõm hướng lên trên, nhận Oy làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số như sau:

Đề thi vào 10 môn Toán sở GD&ĐT An Giang có đáp án

b) Chứng minh rằng đồ thị hai hàm số đã cho luôn có hai giao điểm

Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của phương trình

x² = 3ax - a² ⇔ x²- 3ax + a²= 0 (1)

Phương trình (1) có $\Delta$ = (-3a)²- 4.1.a²= 9a²- 4a²= 5a²> 0, $\forall a \neq 0$

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Hay đồ thị hai hàm số đã cho luôn có hai giao điểm.

c) Gọi y₁ ; y₂ là tung độ giao điểm của hai đồ thị. Tìm a để y₁ + y₂ = 28

Gọi x₁; x₂ là hoành độ giao điểm của hai đồ thị khi đó:

y₁ + y₂ = 28 ⇔ 3ax₁ - a² + 3ax₂ - a² = 28

⇔ 3a (x₁ + x₂) - 2a² = 28 (2)

Áp dụng định lý Vi-ét ta có x₁ + x₂ = 3a thay vào (2) ta được:

(2) ⇔ 3a.3a - 2a² = 28

⇔ 9a² - 2a² = 28

⇔ 7a² = 28

⇔ a² = 4

⇔ a = $\pm 2$ (thỏa mãn)

Vậy với $a= \pm 2$ thì giao điểm của hai đồ thị hàm số có y₁ + y₂ = 28

Bài 3. (1,0 điểm)

Cách giải:

Cho phương trình bậc hai x² - 2mx + 2m - 3 = 0 (m là tham số).

a) Giải phương trình khi m = 0,5

Khi m = 0,5 phương trình trở thành x² - 2.0,5.x + 2.0,5 - 3 = 0

⇔ x²- x - 2 = 0

Ta có: a - b + c = 1 - (-1) + (-2) = 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt là: x₁= -1; x₁ = $\frac{-c}{a} = 2$

Vậy khi m = 0,5 phương trình có tập nghiệm S = {-1; 2}

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Phương trình bậc hai x²- 2mx + 2m - 3 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi ac < 0 ⇔ 2m - 3 < 0 ⇔ m < $\frac{3}{2}$

Vậy để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì m < $\frac{3}{2}$

Bài 4. (1,0 điểm)

Cách giải:

Đề thi vào 10 môn Toán sở GD&ĐT An Giang có đáp án a) Chứng minh rằng tứ giác ABOD nội tiếp

Ta có $\angle BAC$ = 90º (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ $\angle BAD$ = 90º

$OD \perp BC$ (gt) ⇒ $\angle BOD$ = 90º

Xét tứ giác ABOD có: $\angle BAD + \angle BOD$ = 90º + 90º = 180º

⇒ ABOD là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180º)

b) Tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O) cắt đường thẳng BC tại điểm P, cho PB = BO = 2cm. Tính độ dài đoạn thẳng PA và số đo góc $\angle APC$

Vì AP là tiếp tuyến của (O) tại A nên $OA \perp AP$ ⇒ $\Delta OAP$ vuông tại A.

Lại có PB = BO = 2(cm) (gt) ⇒ B là trung điểm của OP ⇒ AB là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông OAP ⇒ AB = $\frac{1}{2}$ OP = OB = 2 (cm)

Ta có: OA = OB = 2 (cm) (=R), OP = OB + PB = 4 (cm)

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông OAP ta có:

OA²+ AP²= OP²

⇒ 2²+ AP²= 4²

⇔ 4 + AP²= 16

⇔ AP²= 12

⇔ AP = $2\sqrt{3}$ (cm)

Vậy AP = $2\sqrt{3}$ (cm).

Xét tam giác vuông OAP ta có: sin $\angle APO = \frac{OA}{OP} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ⇒ $\angle APO$ = 30º

Vậy $\angle APO = \angle APC$ = 30º

c) Chứng minh rằng $\frac{PB}{PC} = \frac{BA^{2}}{AC^{2}}$

Xét $\Delta PAB$ và $\Delta PCA$ có:

$\angle APC$ chung

$\angle BAP = \angle APC$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AB)

⇒ $\Delta PAB \sim \Delta PCA$ (g.g)

⇒ $\frac{PA}{PB} = \frac{PC}{PA}= \frac{AB}{AC}$ (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒ $\left\{\begin{matrix} \frac{BA^{2}}{AC^{2}} = \frac{PA^{2}}{PB^{2}} & \\ PA^{2} = PB.PC& \end{matrix}\right.$

⇒ $\frac{BA^{2}}{AC^{2}} = \frac{PA^{2}}{PB^{2}} = \frac{PB.PC}{PB^{2}} = \frac{PC}{PB}$ (điều phải chứng minh)

Bài 5. (1,0 điểm)

Cách giải:

Câu 1. Cây bạch đàn mỗi năm cao thêm 1m, cây phượng mỗi năm cao thêm 50cm. Lúc mới vào trường học, cây bạch đàn cao 1m và cây phượng cao 3m. Giả sử tốc độ tăng trưởng chiều cao của hai loại cây không đổi qua các năm.

a) Viết hàm số biểu diễn chiều cao mỗi loại cây theo số năm tính từ lúc mới vào trường.

Gọi x là chiều cao cây bạch đàn sau n năm (m; x > 1).

Gọi y là chiều cao cây phượng sau m năm (m; y > 3).

Chiều cao cây bạch đàn sau 1 năm là: 1 + 1 = 2 (m).

Chiều cao cây bạch đàn sau 2 năm là: 1 + 2.1 = 3 (m).

Chiều cao cây bạch đàn sau 3 năm là: 1 + 3.1 = 4 (m).

...

Chiều cao cây bạch đàn sau n năm là: 1 + n.1 = n + 1 (m).

Vậy hàm số biểu diễn chiều cao cây bạch đàn sau n năm là: x = n + 1

Chiều cao cây phượng sau 1 năm là: 3 + 0,5 = 3,5 (m).

Chiều cao cây phượng sau 2 năm là: 3 + 2.0,5 = 4 (m)

Chiều cao cây phượng sau 3 năm là: 3 + 3.0,5 = 4,5 (m)

...

Chiều cao cây phượng sau n năm là: 3 + n.0,5 = 0,5n + 3 (m).

Vậy hàm số biểu diễn chiều cao cây phượng sau n năm là: y = 0,5n + 3.

b) Sau bao nhiêu năm so với lúc mới vào trường thì cây bạch đàn sẽ cao hơn cây phượng ?

Giả sử sau k năm (k $\epsilon$ N*) cây bạch đàn cao hơn cây phượng

⇔ k + 1 > 0,5k + 3

⇔ 0,5k > 2

⇔ k > 4

Vậy sau 5 năm so lúc mới vào trường thì cây bạch đàn sẽ cao hơn cây phượng.

Câu 2.

Gọi vị trí ban đầu của người đó là điểm A.

Vì thời gian thực hiện mỗi vòng của đu quay là 30 phút nên khi đu quay quay đều thì 10 phút người đó đi được 1/3 vòng tròn và đang ở vị trí điểm B như hình vẽ sau:

Đề thi vào 10 môn Toán sở GD&ĐT An Giang có đáp án

Gọi A', B' lần lượt là hình chiếu của A, B trên mặt đất, kẻ $OH \perp BB'$

Ta có: $\angle AOB$ = $\frac{1}{3}$ . 360º = 120º, OA' = 80cm

Vì OA' B' H là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) nên HB' = OA' = 80 (m)

Ta có: $\angle AOH$ = 90º ⇒ $\angle BOH$ = 120º - 90º = 30º

Xét tam giác vuông OBH có: BH = OB. sin 30º = 75 . $\frac{1}{2}$ = 37,5 (m)

⇒ BB' = BH + HB' = 37,5 + 80 = 117,5 (m).

Vậy sau 10 phút người đó ở độ cao 117,5m so với mặt đất.

Trên đây là nội dung của Đề thi và đáp án môn Toán thi vào lớp 10 của Tỉnh An Giang. Ngoài ra, quý khách có thể tham khảo thêm: Đề thi thử 10 môn Toán Hà Nội có đáp án mới nhất.