Mục lục bài viết

1. Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác
2. Công thức tính độ dài đường trung tuyến
3. Ví dụ áp dụng

1. Định nghĩa đường trung tuyến trong tam giác

Trong hình học, đường trung tuyến trong một tam giác là một đoạn thẳng đặc biệt, nó được xác định bằng cách nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác sẽ có ba đường trung tuyến tương ứng với ba đỉnh khác nhau, tạo thành ba đoạn thẳng riêng biệt. Các đường trung tuyến này có tính chất đáng chú ý là chúng sẽ giao nhau tại một điểm duy nhất trong tam giác. Điểm giao nhau này được gọi là trọng tâm của tam giác, một điểm có tầm quan trọng đặc biệt trong hình học vì nó là điểm cân bằng của tam giác, nghĩa là nó chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần, trong đó đoạn nối từ đỉnh đến trọng tâm dài gấp đôi đoạn nối từ trung điểm của cạnh đối diện đến trọng tâm. Trọng tâm của tam giác không chỉ là điểm giao của ba đường trung tuyến mà còn là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác, tạo nên một cấu trúc hài hòa và cân đối trong hình học.

2. Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Để tính độ dài của đường trung tuyến trong tam giác, chúng ta sử dụng Định lý Apollonius. Công thức này cho phép tính độ dài đường trung tuyến dựa trên độ dài của ba cạnh của tam giác.

Trong đó: ma: Đường trung tuyến kết nối đỉnh A với trung điểm của cạnh BC.

mb: Đường trung tuyến kết nối đỉnh B với trung điểm của cạnh AC.

mc: Đường trung tuyến kết nối đỉnh C với trung điểm của cạnh AB.

Công thức tính độ dài các đường trung tuyến như sau:

${m_{a}}^{2} = \frac{AC^{2}+ AB^{2}}{2} -\frac{BC^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2} = \frac{BC^{2}+ AB^{2}}{2} -\frac{AC^{2}}{4}$

${m_{b}}^{2} = \frac{BC^{2}+ AC^{2}}{2} -\frac{AB^{2}}{4}$

Các biến a, b, và c trong công thức đại diện cho độ dài của ba cạnh của tam giác. Với công thức này, bạn có thể tính được độ dài của đường trung tuyến từ bất kỳ đỉnh nào đến trung điểm của cạnh đối diện, giúp giải quyết các bài toán liên quan đến tam giác một cách chính xác.

3. Ví dụ áp dụng

Câu 1: Chọn câu sai:

A. Trong một tam giác có ba đường trung tuyến

B. Các đường trung tuyến của tam giác cắt tại một điểm

C. Giao của ba đường trung tuyến của một tam giác gọi là trọng tâm của tam giác đó

D. Một tam giác có hai trọng tâm

Lời giải:

Một tam giác chỉ có một trọng tâm nên D sai.

Chọn đáp án D.

Câu 2: Điền số thích hợp vào chỗ trống: “Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng … độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy”

A. $\frac{2}{3}$ B. $\frac{3}{2}$ C. 3 D. 2

Lời giải:

Định lý: Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy

Số cần điền là $\frac{2}{3}$ .

Chọn đáp án A.

Câu 3: Cho hình vẽ sau:

Công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác dễ hiểu nhất

Điền số thích hợp vào chỗ chấm: BG = ....BE

A. 2 B. 3 C. $\frac{1}{3}$ D. $\frac{2}{3}$

Lời giải:

Ta có AD, BE, CF là ba đường trung tuyến của tam giác ABC và chúng cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác ta có:

$\frac{AG}{AD}= \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{AG}{GD}\Rightarrow AG= 2GD$

Vậy số thích hợp điền vào chỗ chấm là: $\frac{2}{3}$

Chọn đáp án D.

Câu 4: Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC. G là trọng tâm của tam giác và AG = 12 cm. Độ dài đoạn thẳng AM = ?

A. 18 cm

B. 16 cm

C. 14 cm

D. 13 cm

Lời giải:

M là trung điểm của BC nên Am là đường trung tuyến kẻ từ A của tam giác ABC

Mà G là trọng tâm của tam giác ABC

Do đó:

$AG = \frac{2}{3}AM \Rightarrow AM = \frac{3}{2}AG= \frac{3}{2}.12= 18 cm$

Vậy AG = 18 cm.

Câu 5: Cho ΔABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác. Khi đó ta có

A. I cách đều ba đỉnh của ΔABC

B. A, I, G thẳng hàng

C. G cách đều ba cạnh của ΔABC

D. Cả 3 đáp án trên đều đúng

Lời giải:

I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác nên I cách đều ba cạnh của ΔABC . Loại đáp án A

Ta có: ΔABC cân tại A, I là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác nên AI vừa là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ . Mà G là trọng tâm của tam giác ΔABC nên A, I, G thẳng hàng. Chọn B

Chọn đáp án B

Câu 6: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác CD và BE cắt nhau tại I. Khi đó

A. AI là trung tuyến vẽ từ A

B. AI là đường cao kẻ từ A

C. AI là trung trực cạnh

D. AI là phân giác góc

Lời giải:

Hai đường phân giác CD và DE cắt nhau tại I mà ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm nên AI là phân giác góc A

Chọn đáp án D

Câu 7: Em hãy chọn câu đúng nhất

A. Ba tia phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm, điểm đó gọi là trọng tâm của tam giác

B. Giao điểm ba đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác

C. Trong một tam giác, đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh đồng thời là đường phân giác ứng với cạnh đáy

D. Giao điểm ba đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó

Lời giải:

+ Trọng tâm là giao điểm của ba đường trung tuyến nên đáp án A sai. Loại đáp án A

+ Giao điểm ba đường phân giác của tam giác cách đều ba cạnh của tam giác là đúng.

+ Trong một tam giác, đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh đồng thời là đường phân giác ứng với cạnh đáy khi tam giác đó là tam giác cân tại đỉnh ấy nên C sai

+ Giao điểm ba đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó là sai vì giao điểm ba đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó

Chọn đáp án B

Câu 8: Cho đoạn thẳng AB thuộc nửa mặt phẳng bờ d. Xác định điểm M thuộc d sao cho M cách đều hai điểm A, B.

Lời giải:

Công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác dễ hiểu nhất

Vẽ trung trực xy của đoạn thẳng AB

Giả sử xy cắt d tại điểm M, ta có: MA = MB

+ Nếu AB ⊥ d thì xy // d, ta không xác định được điểm M

+ Ngoài trường hợp AB ⊥ d , ta luôn xác định được điểm M và M là duy nhất.

Câu 9: Cho tam giác ABC có AC > AB, phân giác AD. Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Chứng minh rằng AD vuông góc với BE.

Lời giải:

Công thức tính độ dài đường trung tuyến trong tam giác dễ hiểu nhất

Nối BE và ED

Xét ΔADB và ΔADE có:

AD cạnh chung

$\widehat{BAD}$ = $\widehat{EAD}$ (AD là tia phân giác góc BAC)

AB = AE (gt)

Do đó: $\widehat{ADB}$ = $\widehat{ADE}$ (c-g-c)

Suy ra DB = DE ⇒ D thuộc đường trung trực của đoạn BE

Lại có AB = AE (gt) ⇒ A thuộc đường trung trực của đoạn BE

Do đó AD là đường trung trực của BE

Hay AD vuông góc với BE

Câu 10: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17 cm, BC= 16 cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;

b) Tính độ dài AM.

Hướng dẫn giải:

a. Ta có AM là đường trung tuyến tam giác ABC nên MB = MC

Mặt khác tam giác ABC là tam giác cân tại A

Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

Vậy AM vuông góc với BC

b. Ta có

BC = 16cm nên BM = MC = 8cm

AB = AC = 17cm

Xét tam giác AMC vuông tại M

Áp dụng định lý Pythagore ta có: AC² = AM² + MC2 hay 172 = AM² + 82.

Suy ra AM² = 172 – 82 = 225.

Do đó AM = 15 cm.

Câu 11: Cho tam giác MNP cân ở M có MB = MC = 17 cm, NP= 16 cm. Kẻ trung tuyến MI.

a) Chứng minh: MI ⊥ NP;

b) Tính độ dài MI.

Hướng dẫn giải:

a) Do MI là đường trung tuyến MNP nên IP = IN.

Mặt khác tam giác MNP cân tại M.

Do đó MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao hay MI ⊥ NP.

b) Ta có:

NP = 16 cm nên NI = PI = 8 cm.

MN = MP = 17 cm.

Xét tam giác MIP vuông tại I

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

$MP^{2} = MI^{2} + IP^{2} hay 192 = MI^{2} + 82$

$MI^{2$ = 172 – 82 = 225 suy ra MI = 15 cm.

Bạn đọc có thể tham khảo bài viết sau: Cách tính độ dài vectơ

Bài viết trên luật Minh Khuê đã gửi tới bạn đọc chi tiết về vấn đề: Công thức tính độ dài đường trung tuyến. Cảm ơn bạn đọc đã theo dõi chi tiết về nội dung bài viết.