Mục lục bài viết

1. Khái niệm góc giữa 2 vecto
2. Công thức tính góc giữa hai vecto

1. Khái niệm góc giữa 2 vecto

* Khái niệm góc giữa 2 vecto: là góc ngắn nhất mà tại đó quay bất kỳ của hai vecto nào về vecto kia với điều kiện cả hai vecto có cùng phương. Trong mặt phẳng (Không gian) cho hai veto $\vec{a}$ và $\vec{b}$ . Lấy O là một điểm bấ kỳ, gọi A là điểm sao cho $\vec{OA}$ = $\vec{a}$ và B là điểm sao so $\vec{OB}$ = $\vec{b}$ . khi đó góc $\widehat{AOB}$ gọi là góc gữa hai vecto $\vec{a}$ và vecto $\vec{b}$ . Kí hiệu : $(\vec{a}; \vec{b})$ .

* Đặc điểm của góc giữa 2 vecto:

- $(\vec{a}, \vec{b}) = (\vec{b}, \vec{a})$

- Góc giữa hai vecto cùng hướng và khác 0 luôn bằng 0^o

- Góc gữa hai vecto ngược hướng và khác $\vec{0}$ luôn bằng 180^o

- Nếu $(\vec{u},\vec{v})$ = 90^o thì ta nói $\vec{u}$ và $\vec{v}$ vuông góc với nhau, kí hiệu là $\vec{u} \perp$ $\vec{v}$ hoặc $\vec{v} \perp \vec{u}$ . Đặc biệt $\vec{0}$ được coi là vuông góc với mọi vecto.

* Định lý góc giữa 2 vecto:

_ Góc không xác định nếu tồn tại 1 vecto không hay có thể nói góc bằng 0

- Cả hai vecto đều khác 0, tiến hành đưa về chung gốc để có thể tính toán.

2. Công thức tính góc giữa hai vecto

* Cách 1: Sử dụng định nghĩa góc giữa 2 vecto để tính góc giữa 2 vecto

- Cho hai vecto $\vec{OA}$ = $\vec{a}$ và $\vec{OB}$ = $\vec{b}$ đều khác vecto $\vec{0}$ , ta có:

$(\vec{a},\vec{b}) = \widehat{AOB} (0^{O} \leq\widehat{AOB}\leq 180^{O} )$

* Cách 2: Tính cos góc giữa hai vecto từ đó suy ra góc giữa 2 vecto, cách này áp dụng trong hệ toạ độ:

- Cho hai vecto $\vec{a} = (a_{1}; a_{2})$ và $\vec{b} = (b_{1}; b_{2})$ đều khác veto $\vec{0}$ ta có:

$cos \left ( \vec{a},\vec{b} \right ) = \frac{a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}}{\sqrt{a_{1}+a_{2}}. \sqrt{b_{1 }+b_{2}}}$

$\vec{a} \perp \vec{b} <=> (\vec{a},\vec{b} ) = 90^{o}$

⇔ $\vec{a} .\vec{b} = 0$ ⇔ $a_{1 } . b_{1} +a_{2}.b_{2}=0$

Lưu ý: Góc giữa 2 vecto luôn có số đo từ 0^{o _{đến 180}}^o.

BÀI TẬP VẬN DUNG LIÊN QUAN

Bài 1: Cho hai vecto khác vecto $\vec{0}$ . Khẳng định nào sau đây đúng

A. Hai vecto cúng phương khi và chỉ khi giá chủa chúng song song với nhau

B. Hai vecto cùng phương khi và chỉ khi giá của chúng trùng nhau

C. Nếu hai vecto cùng phương thì chúng cùng hướng

D. Hai vecto cùng phương khi và chỉ khi giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Đáp án: D. Hai vecto cùng phương khi và chỉ khi giá của chúng song song và bằng nhau.

Bài 2: Nếu hai vecto cùng ngược hướng với một vecto thứ ba (và cả 3 vecto đều khác vecto không) thì ba vecto đó:

A. Cùng hướng

B. Cùng độ dài

C. Bằng nhau

D. Ngược hướng

Đáp án: chọn A. Nếu hai vecto cùng ngược hướng với một vecto thứ ba và cả ba vecto đề khác vecto không thì ba vecto đó bằng nhau.

Bài 3: Tính góc giữa vecto a và vec to c, biết viecto c = a-b và cho các vecto a và b thoả mãn |a| = 4, |b| = 2.

Hướng dẫn giải:

Ta có: c = a - b => c² = (a - b)² = a² - 2ab +b² = |a|² - 2|a|.|b|.cos(a,b) + |b|²

=> c² = 4² - 2.4.1.cos60^o + 2² = 3 => |c| = $\sqrt{3}$

Ta lại có:

a . c = a. (a - b) = a² - a .b => a.c =3

Do đó a.c = |a|.|c|. Cos (a,c) <=> 3= 2. $\sqrt{3}$ cos(a, c) => cos(a,c) = 3/(2 $\sqrt{3}$ ) = $\sqrt{3}$ /2 => góc giữa 2 vecto bằng 30 độ.

Bài 4:Gọi G là trọng tâm tam giác vuông ABC với cạnh hyền BC = 12. Vecto $\vec{GB}- \vec{CG}$ có độ dài bằng bao nhiêu

A. Độ dài bằng 2

B. Độ dài bằng 4.

C. Độ dài bằng 8

D. Độ dài bằng 5

Đáp án: Chọn A. Vecto có độ dài bằng 2

Bài 5: Chọn khẳng định đúng:

A. Hai vecto có giá vuông góc thì cùng phương

B. Hai vecto cùng phương thì chúng ngược hướng

C. Hai vecto cùng phương thì giá của chúng song song hoặc trùng nhau

D. Hai vecto cùng ngược hướng với 1 vecto thứ ba thì cùng hướng

Bài 6: Cho hai vecto có độ dài bằng 1 và thoả mãn điều kiện, Tính góc giữa 2 vecto

a. 30 độ

B. 60 độ

C. 90 độ

D. 120 độ

Đáp án bài 6: Chọn D, ta có cosa = -1/2 => góc giữa 2 vecto bằng 120 độ (áp dụng lý thuyết bình phương cô hướng bằng bình phương độ dài).

Đáp án bài 5: Chọn C. Hai vecto cùng phương thì giá của chúng song song hoặc trùng nhau là khẳng định đúng.

Bài 7: Giả sử $\vec{u}$ và $\vec{v}$ lần lượt là vecto chỉ chỉ phương của 2 đường thẳng a và b. Giả sử $(\vec{u},\vec{v})= 150^{o}$ . Tính góc giữa a và b

A. -30 độ

B. 30 độ

C. 150 độ

D. 170 độ

Đáp án: D. Góc giữa a và b là 170 độ

Bài 8: Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và đều có độ dài là I. Gọi M là trung điểm của canh AB, Góc giữa hai vecto $\vec{OM}, \vec{BC}$ bằng:

A. 0 độ

B. 45 độ

C. 60 độ

D. 120 độ

Đáp án: Chọn D. 120 độ

Lời giải chi tiết: Lấy N là trung điểm của AC suy ra MN // BC. Ta có: $\left (\vec{OM}, \vec{BC} \right ) = (\vec{OM},\vec{MN}) = 180^{o} - \widehat{OMN}$

xét tam giác OMN có

OM = ON = 1/ $\sqrt{2}$

MN = 1/2 BC = $\sqrt{2}$ /2 => $cos \widehat{OMN}$ = 1/2 => $\widehat{OMN}$ = 60^o=> $\left ( \vec{OM} , \vec{BC}\right )$ = 120^o

Bài 9: Tính góc giữa 2 vecto a và b, biết rằng Cho 2 vecto a và b có độ bài bằng 1 và thoả mãn điều kiện |3a + 2b} = $\sqrt{7}$ .

Hướng dẫn giải: Ta có:

|3a + 2b| = $\sqrt{7}$ <=> (|3a 2b|)² = 7 <=> 9a² + 12b + 4b = 7

Vì a²= |a|² =1; b² = |b|² =1 ( bình phương vô hướng bằng bình phương độ dài)

Sau ra: 4 . 1 + 12ab + 9 . 1 = 7 <=> 12ab = 7 - 4 - 9 = -6 <=> ab = -1/2.

Do đó: cos(a; b) = (a.b) /(|a|.|b|) = -1/2

Vậy góc giữa 2 vecto a và b à 120 độ

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tính góc giữa hai vecto

A, $\vec{BA}$ và $\vec{BC}$

B. $\vec{CA}$ và $\vec{BC}$

Đáp án: a, $\widehat{ABC}$ = 45 độ b, $\widehat{ACD}$ = 135 độ

Bài 11: Cho hình thoi ABCD biết góc BAD bằng 120 độ, Tính góc giữa hai vecto $\vec{DC}$ và $\vec{AD}$

Lời giải: Ta có AB // DC và AB = DC (vì ABCD là hình thoi) => $\vec{AB}$ = $\vec{DC}$ => $(\vec{DC}, \vec{AD})= (\vec{AB}, \vec{AD})$

Mà $(\vec{AB}, \vec{AD}) =\widehat{BAD}$ = 120^o => $(\vec{DC}, \vec{AD}) = 120^{o}$

Vấy góc giữa hai vecto DC và AD là 120 độ.

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đấy là hình vuộng cạnh $a\sqrt{3}$ , SA vuông góc với mặt phẳng đáy tại A, SA = $a\sqrt{2}$ . Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD

A. 20 độ

B. 30 độ

C. 45 độ

D. 60 độ

Đáp án, Chọn B. Góc giữ đường thẳng SC và mặc phảng ABCD là 30 độ.

Lời giải chi tiết:

Ta có SA vuông góc với mặt phẳng ABCD nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng ABC. Do đó góc giữa SC và mặt phẳng ABCD bằng góc của SC và AC bằng góc SCA.

Xet hình vuôn ABCD, ta có AC = $a\sqrt{6}$

Xét tam giác SAC vuông tại A, ta có $tan \widehat{SCA} = \frac{SA}{AC}= \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3} }$ => $\widehat{SCA}$ = 30 độ

Bài 13: Cho hình chíp S.ABCD có đấy ABCD là hình bình hành với BC = 2a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, Góc giữa hai đườn thẳng SD và BC nằm trong khoảng nào

A. (20^o; 30^o)

B. (40^o; 50^o)

C. (30^o; 40^o)

D. (50^o; 60^o)

Lời giải chi tiết: Đáp án D. (50; 60)

Ta có BC // AD <=> góc (SD, BC) = góc SDA ( Do tam giác SAD vuông tạ A nên góc SDA < 90 độ)

Xét tam giác SAD vuông tại A, ta có tan $\widehat{SDA}$ = SA/AD = 3a/2a =3/2 => góc SDA xấp xỉ 56 độ và nằm trong khoảng (50^o; 60^o)

Bài 14: Cho tứ diện ABCD có AC = BD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AD. Biết tằng MN = $a\sqrt{3}$ . Tính góc giữa AC và BD.

A . 30 độ

B. 45 độ

C. 60 độ

D. 90 độ

Lời giải chi tiết: Chọn đáp án C. 60 độ

Gọi I là trung điểm của AB, ta có IM = IN = a

Áp dụng định lý của cossin cho tam giác IMN ta có: $cos\widehat{MIN}=\frac{IM^{2}+IN^{2}-MN^{2}}{2- IM -IN} = \frac{a^{2} + a^{2} - 3a^{2}}{2-a-a} = -\frac{1}{2}$

=> góc MIN bằng 120 độ => góc giữa AC và BD bằng 60 độ.

Bài 16: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy $a\sqrt{2}$ , canh bên 2a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

A. 30 độ

B. 45 độ

C. 60 độ

D. 90 độ

Lời giải chi tiết: Chọn đáp án C. 60 độ

Ta có góc giữa cạnh bên và mặt đáy alf góc giữa SD và (ABCD). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì A.ABCD là hình chóp đều nên SO vuông góc với mặt phẳng ABCD.

=> OD là hình chiếu cua SD trên mặt phảng ABCD

Do đó góc giữa SD và mặt phảng ABCD là góc SDO

Xát hình vuông ABCD có OD = BD/2 = a

Xét tam giác SOD vuông tại O => góc SDO bằng 60 độ

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê để trả lời cho câu hỏi Công thức, Cách tính góc giữa 2 vecto kèm bài tập vận dụng để bạn đọc có thể luyện tập thêm. Hy vọng bài viết đã là câu trả lời hữu ích cho bạn đọc. Xin trân trọng cảm ơn!