Mục lục bài viết

1. Lý thuyết bất phương trình bậc 2
1.1. Định nghĩa bất phương trình bậc 2
1.2. Tam thức bậc hai - dấu của tam thức bậc hai
2. Bài tập giải bất phương trình bậc 2

1. Lý thuyết bất phương trình bậc 2

1.1. Định nghĩa bất phương trình bậc 2

Bất phương trình bậc 2 ẩn x có dạng tổng quát là $ax^{2}$ + bx + c <0 (hoặc $ax^{2}$ + bx + c $\leq$ 0), ( $ax^{2}$ + bx + c > 0), ( $ax^{2}$ + bx + c $\geq$ 0), trong đó a,b,c là những số thực cho trước, a $\neq$ 0

Ví dụ về bất phương trình bậc 2: $x^{2}$ - 2 > 0, $2x^{2}$ + 3x -5 > 0,...

Giải bất phương trình bậc 2: $ax^{2}$ + bx + c < 0 thực chất chính là quá trình tìm các khoảng thoả mãn f(x) = $ax^{2}$ + bx + c cùng dấu với a (a < 0) hoặc trái dấu với a (a > 0).

1.2. Tam thức bậc hai - dấu của tam thức bậc hai

Ta có định lý về dấu của tam thức bậc hai như sau:

Cho f(x) = $ax^{2} + bx + c$ = $b^{2}- 4ac$

Nếu $\triangle$ <0 thì f(x) luôn cùng dấu với a (với mọi $x\in \mathbb{R}$ )

Nếu $\triangle$ > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với a (trừ trường hợp x = $\frac{-b}{2a}$ )

Nếu \triangle =0 thì f(x) luôn cùng dấu với a khi x < $x_{1}$ hoặc x > $x_{2}$ ; trái dấu với hệ số a khi $x_{1}$ < x< $x_{2}$ trong đó $x_{1}$ , $x_{2}$ (với $x_{1}$ < $x_{2}$ ) là 2 nghiệm của hàm số f(x)

Bảng xét dấu của tam thức bậc 2:

Phương pháp giải nhanh bất phương trình bậc 2 đơn giản, dễ hiểu

Nhận xét:

$ax^{2} + bx + c >0$ với mọi R <=> $\left\{\begin{matrix} a> 0\\\ \Delta < 0 \end{matrix}\right.$

$ax^{2} + bx + c <0$ với mọi R <=> $\left\{\begin{matrix} a< 0\\\ \Delta < 0 \end{matrix}\right.$

2. Bài tập giải bất phương trình bậc 2

Bài 1: Một quả bóng được ném thẳng lên từ độ cao 1,6m so với mặt đất với vận tốc 10m/s.Độ cao của bóng so với mặt đất (tính bằng m) sau t giây được cho bởi hàm số

$h(t) = -4,9t^{2} + 10t + 1$ .

Hỏi :

a. Bóng có thể cao trên 7m không?

b. Bóng ở độ cao trên 5m trong khoảng thời gian bao lâu? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm

Gợi ý đáp án

a. Xét hàm h(t)= -4,

$9t^{2$ + 10t + 1 - 7 = -4

$9t^{2}$ + 10t - 6 có $\Delta$ = -17,6 < 0 và a= -4,9 < 0 nên h(t) luôn <0 tức là -4

$9t^{2}$ + 10t +1 < 7. Như vậy bóng không thể cao trên 7m

b. Xét hàm h(t)= -4

$9t^{2}$ + 10t +1 - 5 = -4

$9t^{2}$ + 10t - 4 có $\Delta$ = 21,6 > 0 nên h(t) có hai nghiệm phân biệt :

$x_{1}$ = 1,5

Và có a = -4,9 < 0. nên f(x) > 0 khi x $\epsilon$ (0,55 ; 1,5)

Hay bóng ở độ cao trên 5m trong khoảng thời gian từ 0,55 giây đến 1,5 giây

Bài 2: Mặt cắt ngang của mặt đường thường có dạng hình parabol để nước mưa dễ dàng thoát sang hai bên. Mặt cắt ngang của một con đường được mô tả bằng hàm số y = -0,006 $x^{2}$ với gốc tọa độ đặt tại tim đường và đơn vị đo là mét trong hình 4. Với chiều rộng của đường như thế nào thì tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm.

Lời giải chi tiết:

Theo dữ liệu của bài ta có :-0,006 $x^{2}$ -0,15 \leq 0

Ta xét f(x) = -0,006 $x^{2}$ - 0,15. có $\Delta$ = 0-4 (-0,006)(-0,15) = 0,0036 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt

$x_{1} = \frac{-0-\sqrt{0,0036}}{2.(-0,006)} = \frac{1}{2}$

$x_{2} = \frac{-0+\sqrt{0,0036}}{2.(-0,006)} = -\frac{1}{2}$

và a = -0,006 < 0 nên -0,006 $x^{2$ -0,15 $\leq$ 0 khi x thuộc đoạn từ $[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}]$

Bài 3: Kim muốn trồng một vườn hoa trên mảnh đất hình chữ nhật và làm hàng rào bao quanh. Kim chỉ có đủ vật liệu để làm 30m hàng rào nhưng muốn diện tích vườn hoa ít nhất là 50 $m^{2}$ . Hỏi chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng nào?

Gợi ý đáp án

Giả sử chiều rộng của vườn hoa là x và chiều dài là y thì theo dữ liệu đề bài ta có :

2 (x + y) = 30 (1) và x.y $\geq$ 50 (2)

Từ (1) $\Rightarrow$ x + y = 15 ⇒ y = 15 - x. Thay vào (2) ta có: x.(15 - x) $\geq$ 50 ⇒ $-x^{2}$ + 15x - 50 $\geq$ 0

Xét tam thức bậc hai một ẩn f(x) = $-x^{2}$ + 15x - 50 ta có : $\Delta$ = $15^{2}$ - 4(-1)(-50) = 25 > 0 nên f(x) có hai nghiệm phân biệt

$x_{1} = \frac{-15-\sqrt{25}}{2.(-1)}$ = 10

$x_{2} = \frac{-15+\sqrt{25}}{2.(-1)$ = 5

Và có a = -1 < 0 nên f(x) > 0 khi x $\epsilon$ (5;10)

Vậy chiều rộng của vườn hoa nằm trong khoảng từ 5 đến 10m.

Bài 4: Các chuyên viên hoạch định kinh tế của một công ty sản xuất máy nghe nhạc MP3 đưa ra công thức tính lợi nhuận là $y = -x^{2} + 93x - 1512$ (đơn vị: triệu đồng), trong đó x là số máy nghe nhạc MP3 được bán ra. Khi đó, công ty có lãi khi bán được bao nhiêu máy nghe nhạc MP3?

A. 21.

B. 45.

C. 20.

D. 72

Bài 5: Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) f(x) = $x^{2}$ - x + 5

B, g(x) = $x^{2}$ - 8x + 7

C, h(x) = $x^{2}$ - 6x + 9

Lời giải:

a, Xét tam thức bậc hai f(x) = $x^{2}$ - x + 5 có:

$\left\{\begin{matrix} \Delta = (-1)^{2} - 4.1.5 = -19 <0)\\ a = 1> 0 \end{matrix}\right.$

=> f(x) >0 với mọi x thuộc R

B, Xét tam thức bậc hai g(x) = $x^{2}$ - 8x + 7 có $\Delta'$ = $(\frac{-8}{2})$ - 1. 7 = 9 > 0. Do đó tam thức bậc hai có hai nghiệm x1 =1 và x2 - 7

Vì a = 1> 0 nên

+ g(x) < 0 với mọi x thuộc (1;7)

C, Xét tam thức bậc hai h(x) = $x^{2}$ - 6x + 9 có $\Delta '$ = 0. Do đó tam thức bậc hai có hai nghiệm kép x = 3 và có hệ số a = 1 > 0 nen h(x) > 0 với mọi x thuộc R.

Bài 6: Cho phương trình $x^{2}$ – 2x – m = 0 . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn x1 < x2 < 2.

A. m > 0;

B. m < – 1;

C. – 1 < m < 0;

D. m > 1.

Bài 7: Xác định m để (m2 + 2) $x^{2}$ – 2(m – 2)x + 2 > 0 với mọi x ∈ ℝ

A. m ≤ – 4 hoặc m ≥ 0;

B. m < – 4 hoặc m > 0;

C. – 4 < m < 0;

D. m < 0 hoặc m > 4

Bài 8: Tìm tập nghiệm của các bất phương trình sau:

a) $(x + \sqrt{3})^{2}$ ≥ $(x - \sqrt{3})^{2}$ + 2

b) x + √ x < (2√ x + 3)(√ x - 1)

c) (x - 3 )√ (x - 2) ≥ 2

Hướng dẫn:

a) Ta có: $(x + \sqrt{3})^{2}$ ≥ $(x - \sqrt{3})^{2}$ + 2

⇔ $(x )^{2}$ + 2√ 3 x + 3 ≥ x2 - 2√ 3 x + 3 + 2

⇔ 4√ 3 x ≥ 2 ⇔ x ≥ √ 3 /6 → S = ( $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ; + ∞)

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = ( $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ; + ∞)

b) Ta có: x + √ x < (2√ x + 3)(√ x - 1)

Điều kiện: x ≥ 0

⇔ x + √ x < 2x - 2√ x + 3√ x - 3

⇔ - x < - 3 ⇔ x > 3

Kết hợp điều kiện, tập nghiệm bất phương trình là: S = (3; + ∞)

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S = (3; + ∞)

c) Ta có: (x - 3)√ (x - 2) ≥ 2

Điều kiện: x ≥ 2

Bất phương trình tương đương làLý thuyết: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = 2 ∪ [ 3; + ∞ )

Bài 9: Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để bất phương trình ( m2 - m )x < m vô nghiệm là?

Hướng dẫn:

Rõ ràng nếu $m^{2}$ - m ≠ 0 ⇔ $\left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ m\neq 1 \end{matrix}\right.$ thì bất phương trình luôn có nghiệm.

Với m = 0, bất phương trình trở thành 0x < 0: vô nghiệm.

Với m = 1, bất phương trình trở thành 0x < 1: luôn đúng với mọi x ∈ R

Vậy với m = 0 thì bất phương trình trên vô nghiệm.

Bài 10: Tập nghiệm S của bất phương trình: 5x - 1 ≥ $\frac{2x}{5}$ + 3 là?

A. S = R

B. S = ( - ∞ ;2 )

C. S = ( $\frac{-5}{2}$ ; + ∞ )

D. [ $\frac{20}{23}$ ; + ∞ )

Ta có: 5x - 1 ≥ $\frac{2x}{5}$ + 3 ⇔ 25x - 5 ≥ 2x + 15 ⇔ 23x ≥ 20 ⇔ x ≥ $\frac{20}{23}$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [ $\frac{20}{23}$ ; + ∞ )

Trên đây là bài viết của Luật Minh Khuê viết về nội dung Phương pháp giải nhanh bất phương trình bậc 2 đơn giản, dễ hiểu. Hy vọng bài viết trên đã mang đến thông tin và kiến thức hữu ích về Phương pháp giải nhanh bất phương trình bậc 2, từ đó giúp các bạn có thể nắm chắc kiến thức liên quan đến bất phương trình và áp dụng, vận dụng tốt kiến thức để giải quyết các bài tập bất phương trình bậc 2.

Ngoài kiến thức liên quan đến toán học nói chung và phương pháp giải nhanh bất phương trình bậc 2 nói riêng, bạn đọc có thể tham khảo các kiến thức khác liên quan đến các bộ môn sinh học, hoá học, tiếng anh, ngữ văn, .... cũng như các chủ điểm về tư vấn pháp luật khác. Hy vọng những thông tin trên đây là hữu ích với bạn đọc, Luật Minh Khuê xin trân trọng cam