Mục lục bài viết

1. Lý thuyết Toán 10 Kết nối tri thức Bài 25: Nhị thức Newton

Công thức Nhị thức Newton: Với a, b  là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên n \geq 1, ta có công thức sau đây:

Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài 25: Nhị thức Newton chi tiết

Nhị thức Newton, một định lý toán học quan trọng, đồng liên quan đến triển khai hàm mũ của tổng và phân tích đa thức bậc cao. Định lý này không chỉ có tầm quan trọng trong lĩnh vực toán học mà còn ứng dụng mạnh mẽ trong nhiều lĩnh vực khác, bao gồm:

+ Tính tổ hợp và chỉnh hợp: Nhị thức Newton đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán số cách sắp xếp hoặc chọn k phần tử từ n phần tử mà không quan trọng thứ tự, điều này có ứng dụng đặc biệt trong các vấn đề liên quan đến tổ hợp và chỉnh hợp.

+ Dãy số: Trong lĩnh vực dãy số, định lý Nhị thức Newton thường được áp dụng để chứng minh các đặc tính của các dãy số, như dãy Fibonacci và dãy Pascal.

+ Xác suất và thống kê: Trong lĩnh vực xác suất và thống kê, định lý Nhị thức Newton là công cụ quan trọng để tính xác suất và mô tả các phân phối xác suất, đặc biệt là trong việc tính toán xác suất của các biến ngẫu nhiên rời rạc.

+ Lý thuyết đồ thị: Công thức Nhị thức được sử dụng để tính toán số lượng đồ thị con trong một đồ thị, điều này có ứng dụng rộng trong lý thuyết đồ thị và các vấn đề liên quan đến mạng lưới.

Tóm lại, Nhị thức Newton không chỉ là một công cụ toán học mạnh mẽ mà còn là nền tảng cho nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực đa dạng của khoa học và kỹ thuật.

 

2. Bài tập vận dụng Toán 10 Kết nối tri thức Bài 25: Nhị thức Newton

Bài 1. Khai triển các đa thức:

a. (x - 3)^{4}

b. (3x - 2y)^{4}

c. (x + 5)^{4} + (x - 5)^{4}

d. (x - 2y)^{5}

Bài 2. Tìm hệ số của x^{4} trong khai triển của (3x -1)^{5}

Bài 3. Biểu diễn (3 + \sqrt{2})^{5} − (3 - \sqrt{2})^{5} dưới dạng a + b √ 2 với a, b là các số nguyên.

Bài 4. a) Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0,02)^{5} để tính giá trị gần đúng của 1,025 .

b) Dùng máy tính cầm tay tính giá trị của 1 , 02 5 và tính sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng nhận được ở câu a.

Bài 5. Số dân của một tỉnh ở thời điểm hiện tại là khoảng 800 nghìn người. Giả sử rằng tỉ lệ tăng dân số hằng năm của tỉnh đó là r%

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau 1 năm, sau 2 năm. Từ đó suy ra công thức dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người).

b) Với r = 1,5 % , dùng hai số hạng đầu trong khai triển của ( 1 + 0,015)^{5} , hãy ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa (theo đơn vị nghìn người)

Bài 6. Trong khai triển nhị thức (a + 2)^{n + 6} (n ∈ ℕ). Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng

A. 17

B. 11

C. 10

D. 12.

Bài 7. Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức (a + b)^{7} bằng

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Bài 8. Tổng hệ số của x3 và x2 trong khai triển (1 + 2x)^{4} là :

A. 24

B. 44

C. 20

D. 54.

Bài 9. Hệ số của x2 trong khai triển (2 – 3x)3 là k. Nhận xét nào sau đây đúng về k ?

A. k là một số tự nhiên

B. k là một số nguyên âm

C. k là một số nguyên dương

D. k = 0.

Bài 10. Cho số tự nhiên n thỏa mãn A_{n}^{2} + 2. C_{n}^{n} = 22 . Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển của biểu thức (3x – 4)n bằng

A. – 4320

B. – 1440

C. 4320

D. 1080.

 

3. Hướng dẫn giải bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 25: Nhị thức Newton

Bài 1. 

Phương pháp giải: Áp dụng công thức khai triển (a + b)^{4} = a^{4}+ 4 a^{3}b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4} và (a + b)^{4} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} bb^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}

Lời giải chi tiết:

a. (x - 3)^{4} = x^{4} + 4. x^{3}.(-3) +6. x^{2}. (-3)2 +4. x. (-3)3 + (-3)4 = x^{4} -12. x^{3} +54. x^{2} - 108.x +81.

b. (3x - 2y)^{4} = (3x)^{4} + 4. (3x)^{3}. (2y) + 6. (3x)^{2}. (2y)^{2} + 4. (3x). (2y)^{3} + (2y)^{4} = 81. x^{4} + 216. x^{3} y + 216 x^{2}. y^{2} + 96. x. y^{3} + 16. y^{4}

c. (x + 5)^{4} + (x - 5)^{4} = (x^{5}+ 5. x^{4}. 5 + 10. x^{3}. 52 + 10. x^{2}. 53 +5. x. 54 + 55) + (x^{5}+ 5. x^{4}. (-5) + 10. x^{3}. (-5)2 + 10. x^{2}. (-5)3 + 5. x. (-5)4+ (-5)5) = 2. x^{5} + 500. x^{3} + 6250. x

d. (x - 2y)^{5}= x^{5} +5. x^{4}. 2y + 10. x^{3}. (2y)^{2} + 10. x^{2}. (2y)^{3} +5. x. (2y)^{4} + (2y)^{5} = x^{5} +10. x^{4}. y + 40. x^{3}. y^{2} + 80. x^{2}. y^{3} + 80. x. y^{4} + 32. y^{5}.

Bài 2. 

Phương pháp giải: Áp dụng công thức khai triển (a + b)^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}

Lời giải chi tiết:

Số hạng chứa x4 là: 5. (3x)^{4}. (-1) = -405. x^{4}. Vậy hệ số của x4 trong khai triển là: -405.

Bài 3.

Phương pháp giải: Áp dụng công thức khai triển (a + b)^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}

Lời giải chi tiết:

(3 + \sqrt{2})^{5} − (3 - \sqrt{2})^{5} = 3^{5} + 5. 3^{4} . √ 2 + 10. 3^{3} ( √ 2 ) 2 + 10. 3^{2} ( √ 2 ) 3 + 5.3 ( √ 2 ) 4 + √ 2 5 − 3^{5} − 5. 3^{4} . √ 2 + 10. 3^{3} ( √ 2 ) 2 − 10. 3^{2} ( √ 2 ) 3 + 5. 3 ( √ 2 ) 4 − √ 2 5 = 2 ( 5. 3^{4} . √ 2 + 10. 3^{2} ( √ 2 ) 3 + √ 2 5 ) = 810 √ 2 + 360 √ 2 + 8 √ 2 = 1178 √ 2

Bài 4. 

Phương pháp giải: Áp dụng công thức khai triển (a + b)^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5} Lấy kết quả tính bằng máy tính trừ đi kết quả câu a để tính sai số tuyệt đối.

Lời giải chi tiết

a) Giá trị gần đúng của 1,02 5 là: 1 5 + 5.1 4 .0,02 = 1,1

b) 1,02 5 = 1 , 104 Sai số tuyệt đối là: 1,104 - 1,1 = 0,004

Bài 5. 

Phương pháp giải: Áp dụng công thức khai triển (a + b)^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}

Lời giải chi tiết:

a)

- Số dân tỉnh đó sau 1 năm là: 800 + 800. r % = 800. ( 1 + r % )

- Số dân tỉnh đó sau 2 năm là: 800 + 800 r % + ( 800 + 800 r % ) . r % = 800 + 1600. r % + 800. ( r % ) 2 = 800. ( 1 + 2 r % + ( r % ) 2 ) = 800 ( r % + 1 ) 2

- Số dân tỉnh đó sau 5 năm là: 800. ( 1 + r ? % ) 5 b) Ước tính số dân của tỉnh đó sau 5 năm nữa với r % = 1 , 5 % là: 800. ( 1 + 0 , 015 ) 5 = 800. ( 1 + 5.1 4 .0 , 015 ) = 860 (nghìn người)

Bài 6.

Đáp án đúng là: C

Ta có trong khai triển (a + b)^{n} có n + 1 số hạng. Trong khai triển (a + 2)^{n + 6} (n ∈ ℕ) có tất cả 17 số hạng nên ta có n + 6 = 16. Vậy n = 10.

Bài 7. 

Đáp án đúng là: C

Ta có tổng số mũ của a, b trong mỗi hạng tử khi khai triển (a + b)^{n} luôn bằng n. Vậy tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức (a + b)^{7} bằng 7.

Bài 8. 

Đáp án đúng là: B

Ta có: (a + b)^{4} = a^{4} + 4. a^{3}b + 5. a^{2}. b^{2} + 4. a. b^{3} + b^{4}.

Do đó (1 + 2x)^{4} = 14 + 4.13.(2x) + 5.12.(2x)^{2}+ 4.1. (2x)^{3} + (2x)^{4} = 1 + 8x + 20. x^{2} + 24. x^{3} + 16. x^{4}

Suy ra hệ số của x^{3} là 24 và hệ số của x^{2} là 20. Khi đó ta có tổng hai hệ số bằng 24 + 20 = 44.

Bài 9.

 Đáp án đúng là: B

Ta có: (2x - 3)^{3} = (2x)^{3} + 2. (2x)^{2}. (– 3) + 2. (2x). (– 3)2 + (– 3)3 = 8 x^{3} – 24. x^{2} + 36 x – 27.

Hệ số của x^{2} là k = – 24.

Vậy k là một số nguyên âm.

Bài 10.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện n ≥ 2; n ∈ ℕ. Ta có A_{n}^{2} + 2 C_{n}^{n} = 22 ⇔ n! : (n − 2)! + 2 = 22 ⇔ n (n – 1) = 20 ⇔ n = 5 hoặc n = – 4

Kết hợp với điều kiện n = 5 thoả mãn

Ta có: (a + b)^{5} = a^{5} + 5. a^{4}b +10. a^{3}b^{2} + 10. a^{2}b^{3} + 5a. b^{4} + b^{5}

Thay a = 3x; b = – 4 vào công thức ta có: (3x - 4)^{5} = (3x)^{5} + 5. (3x)^{4}. (– 4) +10. (3x)^{3} (-4)^{2} + 10.(3x)^{2}(-4)^{3} + 5. (3x). (-4)^{4} + (-4)^{5} = 243. x^{5} – 1620. x^{4} + 4320. x^{3} – 5760. x^{2} + 3840x – 1024

Vậy hệ số của x^{3} là 43320.

=> Bạn đọc có thể tham khảo thêm bài viết Lý thuyết giải toán bằng cách lập hệ phương trình - Toán lớp 9