Mục lục bài viết

1. Lý thuyết chung về phương trình tiếp tuyến đường tròn
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
3. Bài tập vận dụng liên quan:

1. Lý thuyết chung về phương trình tiếp tuyến đường tròn

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Phương trình đường tròn có tâm I (a; b), bán kính R là:

$(x - a)^{2} + (y - b)^2 = R^2$

Phương trình đường tròn (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 có thể viết dưới dạng:

x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 . Trong đó: c = a^2 + b^2 - R^2

Điều kiện để phương trình x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c =0 là phương trình đường tròn (C) khi và chỉ khi $a^{2}$ + $b^{2}$ - c > 0

Khi đó đường tròn (C) có tâm I (a; b) và bán kính $R = a^{2} + b^{2} - c$ .

>> Xem thêm Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 10 có đáp án

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn

Cho điểm M_0 (x_0; y_0) nằm trên đường tròn (C), tâm I (a; b). Gọi Δ là tiếp tiếp của (C) tại M_0.

Ta có:

M_0 thuộc Δ và vectơ IM_0 = (x_0 - a; y_0 - b) là vectơ pháp tuyến của Δ.

Do đó phương trình của Δ là:

(x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b) (y - y_0) = 0 (1)

Vậy phương trình (1) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 tại điểm M_0 (x_0; y_0) nằm trên đường tròn.

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, qua 1 điểm

3. Bài tập vận dụng liên quan:

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn (C): x^2+ y^2 - 4x - 4y + 4 = 0 , biết tiếp tuyến đi qua điểm B(4; 6) .

Hướng dẫn giải:

- Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = 22 + 22 - 4 = 2

- Tiếp tuyến ∆: qua B (4;6) và VTPT n(a;b) với a^2 + b^2 > 0

⇒ Phương trình ∆: a(x - 4) + b(y - 6) = 0 hay ax + by - 4a - 6b = 0 (*)

- Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên

⇔ $|2a+2b-4a-6b| a^2+ b^2= 2 \Leftrightarrow |- 2a - 4b| = 2 a^2+ b^2$

⇔ $|a + 2b| = a^2+ b^2 \Leftrightarrow a^2+ 4ab + 4b^2 = a^2 + b^2$

⇔ 4ab + 3b2 = 0 ⇔ b = 0 và 4a = -3b

- Nếu b = 0: chọn a = 1 thay vào (*) ta được ∆: x - 4 = 0.

- Nếu 4a = -3b: chọn a = 3 thì b = -4 thay vào (*) ta được: 3x - 4y + 12 = 0

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x - 4 = 0 và 3x - 4y + 12 = 0

Bài 2: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 tại điểm M(2; 1) là:

A. d: -y + 1 = 0

B. d: 4x + 3y + 14 = 0

C. d: 3x – 4y – 2 = 0

D. d: 4x + 3y – 11 = 0

Hướng dẫn giải

+ Đường tròn ( C) có tâm I(-2; -2) và bán kính R= 5.

+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn taị điểm M nên hai đường thẳng d và IM vuông góc với nhau.

Đường thẳng d: đi qua M (2;1) và VTPT IM (4;3)

⇒Phương trình (d) : 4( x – 2) + 3( y – 1) = 0 hay 4x + 3y – 11 = 0

==> Đáp án D. d: 4x + 3y – 11 = 0

Bài tập 3: Cho đường tròn (C) có phương trình: $x^{2}$ + $y^{2}$ − 4x + 8y + 18 = 0

a. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A (1;−3)

b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua B (1;1)

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng có phương trình 3x − 4y + 5=0

Hướng dẫn:

Các bạn hoàn toàn xác định được tâm I (2;−4) và bán kính R = $\sqrt{2}$

a. Với ý này trước tiên các bạn cần kiếm tra xem điểm A (1;−3) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu thuộc thì quy về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại tiếp điểm, ngược lại ta thì ta có lời giải khác.

Các bạn thay tọa độ của điểm A (1;−3) vào phương trình đường tròn (C) thấy thỏa mãn. Do đó điểm A sẽ thuộc đường tròn (C).

Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua A có dạng là:

1.x − 3y − 2(x + 1) + 4(y − 3) + 18=0

⇔ x − y − 4 = 0

b. Các bạn thay tọa độ của điểm B vào phương trình đường tròn (C) thì thấy không thỏa mãn. Do đó điểm B không thuộc đường tròn (C). Khi điểm B không thuộc đường tròn (C) thì ta không sử dụng cách trên được. Vậy ta phải tiến hành ra sao? các bạn theo dõi tiếp.

Trước tiên các bạn gọi phương trình đường thẳng đi qua điểm B (1;1) với hệ số góc k là Δ: y = k (x − 1) + 1 ⇔ kx − y − k + 1 = 0

Để đường thẳng Δ là tiếp tuyến của dường tròn (C) thì khoảng cách từ tâm I tới đường thẳng Δ phải bằng bán kính R.

Ta có: d(I,Δ) = R <=> k = 5 - 4 $\sqrt{3}$ hoặc k = 5 + 4 $\sqrt{3}$

+. Với k = 5 - 4 $\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của (C) là: y=k =(5 - 4 $\sqrt{3}$ )x − 5 + 4 $\sqrt{3}$ + 1 ⇔ y = (5 - 4 $\sqrt{3}$ )x − 4 + 4 $\sqrt{3}$

+. Với k = 5 + 4 $\sqrt{3}$ ta có phương trình tiếp của (C) là: y= (5 + 4 $\sqrt{3}$ )x − 5 − 4 $\sqrt{3}$ + 1 ⇔ y = (5 - 4 $\sqrt{3}$ )x − 4 - 4 $\sqrt{3}$

c. Ở ý này liên quan tới đường thẳng vuông góc, tiện đây mình sẽ nói luôn cả về đường thẳng song song liên quan tới hệ số góc.

Cho hai đường thẳng d1;d2 lần lượt có hệ số góc là: k1;k2

+. Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì hai hệ số góc bằng nhau, tức là: k1=k2

+. Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì tích hai hệ số góc bằng −1, tức là: k1 . k2 = −1

Quay trở lại và áp dụng vào bài toán này thì tiếp tuyến cần tìm vuông góc với đường thẳng 3x − 4y + 5 = 0. Đường thẳng này có hệ số góc là $\frac{3}{4}$ . Vậy phương trình tiếp tuyến sẽ có hệ số góc là $-\frac{4}{3}$

Gọi phương trình tiếp tuyến là Δ có dạng: y = $-\frac{4}{3}$ x + m ⇔ 4x + 3y − 3m = 0

Vì đường thẳng Δ là tiếp tuyến của đường tròn (C) nên ta có:

d(I,Δ) = R

⇔ m = $\frac{-4 + 5 \sqrt{2}}{3}$ hoặc m = $\frac{-4 -5 \sqrt{2}}{3}$

Với m= $\frac{-4 + 5 \sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: y = $\frac{-4}{3}x +\frac{-4 -5 \sqrt{2}}{3}$

Với m= $\frac{-4 -5 \sqrt{2}}{3}$ thì phương trình tiếp tuyến là: y = $\frac{-4}{3}x +\frac{-4 -5 \sqrt{2}}{3}$

Câu 4: Cho đường tròn (C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = 29. Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn câu 17 và tọa độ M nguyên?

A. x + 2y + 3 = 0 B. 2x + 5y + 21 = 0

C. 3x + 5y - 8 = 0 D. Đáp án khác

Câu 5: Cho đường tròn (C): (x-3)^2+(y+3)^2=1. Qua điểm M(4;-3) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C) ?

A. 0 đường thẳng . B. 1 đường thẳng . C. 2. đường thẳng D. Vô số đường thẳng .

Câu 6: Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm N(-2; 0) tiếp xúc với đường tròn (C): (x-2)^2 + (y+3)^2 = 4 ?

A. 0 đường thẳng B. 1 đường thẳng . C. 2 đường thẳng . D. Vô số đường thẳng .

Câu 7: Cho đường tròn (x-3)^2 + (y+1)^2=5 . Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là

A. 2x + y = 0; 2x + y - 10 = 0 B. 2x + y + 1 = 0 ; 2x + y - 1 = 0

C. 2x - y + 1 = 0; 2x + y - 10 = 0 D. 2x + y = 0; x + 2y - 10 = 0

Câu 8: Cho đường tròn (C): $x^{2}+ y^{2} + 2x - 4y = 0$

a, Tìm tâm và bán kính của (c)

B, Viết phương trình tiếp tuyến của (c) tại điểm A (1;1)

C, Viết phương trình tiếp tuyến của (c) đi qua điểm B(4;7)

D, Viết phương trình tiếp tuyến của (c) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x + 4y + 1 = 0

E, Viết phương trình tiếp tuyến của (c) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2x + y -3 = 0

Hướng dẫn giải:

A, (C) có tâm I (-1;2); bán kính R = $\sqrt{5} .$

B, Gọi $\Delta$ là tiếp tuyến cần tìm

$\Delta$ đi qua A(1;1) và nhận IA = (2;-1) làm vtpt

Phương trình của $\Delta$ là: 2(x - 1) - 1(y - 1) = 0 <=> 2x - y - 1 = 0

C, Với a = $\frac{-1}{2}$ , pttt phải tìm là x -2y + 10 = 0

Với a = -2, pttt phải tìm là 2x - y - 1 =0

D, Hai tiếp tuyến cần tìm là

3x + 4y + 5 $\sqrt{5}$ - 5 = 0

3x + 4y - 5 $\sqrt{5}$ - 5 = 0

E, Hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

x - 2y + 10 = 0

X - 2y = 0

Câu 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn $x^{2}+ y^{2}= 4$ trong mói trường hợp sau:

a) Tiếp tuyến song song với d: 3x -y + 17 = 0

b) Tiếp tuyến vuông góc với d: x + 2y - 5 = 0

c) Tiếp tuyến đi qua điểm A(2;-2)

Câu 10: Cho đường tròn (C) có phương trình: $x^{2} + y^{2} - 6x + 2y + 5 = 0 .$ . Tìm phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc là -2; định rõ tọa độ các tiếp điểm.